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相关试卷

1、已知正四面体ABCD的棱长为 $\sqrt{2}$ ，其顶点都在球O的球面上，点M在棱CD上，且 $\vec{C M} = \frac{3}{4} \vec{C D}$ ，则过点M的平面截球O所得截面的面积最小值为．

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2、若 $\exists x_{0} \in (1, + \infty)$ ， $\frac{1}{x_{0} - 1} \leq m - x_{0}$ ，则实数m的取值范围为．

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3、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ， O为坐标原点，过双曲线C的右焦点且与x轴垂直的直线与双曲线C的两条渐近线分别相交于点M，N，则 $△ M O N$ 的面积为．

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4、已知 $x = - 1$ 是函数 $f (x) = (x^{2} + a) e^{2 x}$ 的极大值点，则（）

A、函数 $f (x)$ 的极小值为0 B、若 $- 1 < x < 0$ ，则 $f (x^{3}) > f (x)$ C、若 $0 < m < \frac{1}{e^{2}}$ ，则 $y = f (x) - m$ 有3个相异的零点 D、若 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ （其中 $x_{2} > x_{1} > - 1$ ），则 $x_{1} + x_{2} < 0$

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5、已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $a = 4, sin B + sin C = 2 sin A$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 的周长为12 B、角 $A$ 的最大值为 $\frac{π}{3}$ C、 $△ A B C$ 的面积最小值为 $2 \sqrt{3}$ D、 $△ A B C$ 的面积最大值为 $4 \sqrt{3}$

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6、已知袋装食盐标准质量为400g，设甲、乙两品牌袋装食盐质量的误差分别为随机变量X，Y，且 $X ~ N (0, 2^{2})$ ， $Y ~ N (0, 3^{2})$ ，则（）

A、 $P (X \leq - 2) + P (X \leq 2) = 1$ B、 $P (0 < Y < 3) + P (Y \leq - 3) > \frac{1}{2}$ C、 $P (Y > 0) > P (X < 0)$ D、 $P (|X| \leq 2) > P (|Y| \leq 2)$

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7、设抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，P为抛物线C上任意一点，O为坐标原点，M为线段 $F P$ 的中点，则直线 $O M$ 斜率的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{p}{2}$ D、p

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8、甲、乙等6人参加某次会议，会议安排其前后两排入座，每排3人（如图所示），其中甲坐后排，乙与甲前后、左右均不相邻，则不同的坐法种数共有（）

A、144种 B、168种 C、192种 D、216种

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9、赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．如图的“赵爽弦图”中小正方形的面积为49，大正方形的面积为169，直角三角形中较大的锐角为 $α$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{13}$ B、 $\frac{49}{169}$ C、 $\frac{60}{169}$ D、 $\frac{120}{169}$

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10、已知向量 $\vec{a} = (cos α, 1), \vec{b} = (sin α, \sqrt{3})$ ，则“ $α = \frac{π}{3}$ ”是“向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 共线”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、已知函数 $f (x) = x^{3} - x$ ，则函数 $y = f (x + 2) + 2$ 的图象（）

A、关于点 $(- 2, 2)$ 对称 B、关于点 $(2, - 2)$ 对称 C、关于直线 $x = 2$ 对称 D、关于直线 $x = - 2$ 对称

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12、下列四个函数中，以 $π$ 为最小正周期，且在区间 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2})$ 上单调递增的是（）

A、 $y = sin 2 x$ B、 $y = cos 2 x$ C、 $y = |cos x|$ D、 $y = |sin x|$

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13、已知i为虚数单位，复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) \cdot i = - 1 + i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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14、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}, B = \{x |x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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15、已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于 $A B$ 、 $A D$ 的直线为 $x$ 、 $y$ 轴建立平面直角坐标系．设 $y$ 轴分别交 $A B$ 、 $D C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，点 $P$ 为平面上的动点，且直线 $P E$ 、 $P F$ 的斜率的积为 $- \frac{1}{4}$ ．

(1)、证明点 $P$ 不在矩形 $A B C D$ 的外部；

(2)、现将矩形折叠，使 $A$ 点落在线段 $D C$ 上，设折痕所在直线 $l$ 的斜率为 $k$ ，
①求直线 $l$ 的方程；
②重新展平矩形 $A B C D$ ，当折痕的长最大时，求折痕被点 $P$ 的轨迹所截得的弦长．

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16、已知函数 $f (x) = sin k x \cdot {sin}^{k} x + cos k x \cdot {cos}^{k} x - {cos}^{k} 2 x$ ，其中 $k \in N^{*}$ ．

(1)、当 $k = 1$ 时，求方程 $f (x) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集；

(2)、若 $f (x)$ 是偶函数，当 $k$ 取最小值时，求函数 $g (x) = \frac{f (x)}{tan x} + sin x + cos x$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 是常数函数，求 $k$ 的值．

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17、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是菱形， $∠ B A D = 60 °$ ，三角形 $P A D$ 是正三角形， $M$ 是棱 $P C$ 的中点，设平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l$ ．

(1)、证明： $l / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、证明： $B C ⊥ D M$ ；

(3)、若二面角 $P - A D - B$ 为 $60 °$ ，求直线 $D M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ ， $a_{n} = n^{2} ({cos}^{2} \frac{n π}{3} - {sin}^{2} \frac{n π}{3})$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ；

(2)、求 $S_{3 n}$ ；

(3)、若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $b_{n} = \frac{S_{3 n}}{n \cdot 2^{n - 1}}$ ，证明： $T_{n} < 22$ ．

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19、已知函数 $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 3 a (a - 4) x + 2025$ ， $g (x) = e^{x} f (x)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $y = g (x)$ 和 $y = e^{x}$ 的图象在公共点 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线相同，证明：函数 $y = f (x)$ 的图象在 $(x_{0}, y_{0})$ 处的切线平行于 $x$ 轴．

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20、如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $△ A B C$ 为等边三角形， $S A ⊥ A B$ ， $S B = S C$ ，若 $S A + A B = 1$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 外接球体积的最小值为．

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