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相关试卷

1、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有斛.（精确到个位）

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2、向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ_{}$ ，定义运算“ $\otimes$ ”： $\vec{a} \otimes \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ$ ，若 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ， $\vec{b} = (- \sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{a} \otimes \vec{b}$ 的值为.

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3、在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为z_O=0，z_A=2+ $\frac{a}{2}$ i，z_B=-2a+3i，z_C=-b+ai，则实数a-b为.

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4、如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等， $O_{1}$ ， $O_{2}$ 为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆 $O_{1}$ 的一条直径，若球的半径 $r = 2$ ，则（）

A、球与圆柱的体积之比为 $2 : 3$ B、四面体CDEF的体积的取值范围为 $(0, 32]$ C、平面DEF截得球的截面面积最小值为 $\frac{4 π}{5}$ D、若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 $P E + P F$ 的取值范围为 $[2 + 2 \sqrt{5}, 4 \sqrt{3}]$

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5、[多选题]下列命题是真命题的是（）．

A、若A，B，C，D在一条直线上，则 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 是共线向量 B、若A，B，C，D不在一条直线上，则 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 不是共线向量 C、若向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{C D}$ 是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D、若向量 $\overset{⃑}{A B}$ 与 $\overset{⃑}{A C}$ 是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上

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6、不共面的三条定直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 互相平行，点A在 $l_{1}$ 上，点B在 $l_{2}$ 上，C、D两点在 $l_{3}$ 上，若CD $= a$ (定值)，则三棱锥A－BCD的体积

A、由Ａ点的变化而变化 B、由B点的变化而变化 C、有最大值，无最小值 D、为定值

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7、三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90^{\circ}$ ， $A B = A C = a$ ， $∠ A A_{1} B_{1} = ∠ A A_{1} C_{1} = 60^{\circ}$ ， $∠ B B_{1} C_{1} = 90^{\circ}$ ，侧棱长为 $b$ ，则其侧面积为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{3} a b}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + 2}{2} a b$ C、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) a b$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2}}{2} a b$

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8、复数 $z$ 满足 $(- 1 + i) z = {(1 + i)}^{2}$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则在复平面上复数 $z$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9、已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，且 $\sin B = 1$ ，向量 $\overset{⃑}{p} = (a, b), \overset{⃑}{q} = (1, 2)$ ．若 $\overset{⃑}{p} ∥ \overset{⃑}{q}$ ，则角C的大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2π}{3}$

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10、若向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 满足： $\vec{a} \neq \vec{b}, |\vec{c}| = 1$ ，且 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | + | \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{1}{2}$

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11、若 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $150^{\circ}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $- 3$ D、 $- \sqrt{3}$

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12、如图 1 所示，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，满足 $2 \vec{C D} = \vec{D B}$ ， $G$ 是线段 $A B$ 上的点，且满足 $3 \vec{A G} = 2 \vec{G B}$ ，线段 $C G$ 与线段 $A D$ 交于点 $O$ .

(1)、若 $\vec{A D} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，求实数 $x$ ， $y$ 的值；

(2)、若 $\vec{A O} = t \vec{A D}$ ，求实数 $t$ 的值；

(3)、如图 2，过点 $O$ 的直线与边 $A B$ ， $A C$ 分别交于点 $E$ ， $F$ ，设 $\vec{E B} = λ \vec{A E}, \vec{F C} = μ \vec{A F} (λ > 0, μ > 0)$ ，设 $△ A E F$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $B E F C$ 的面积为 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的取值范围．

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13、筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用. 假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 如图，将筒车抽象为一个几何图形 (圆)，筒车半径为 $2.4 m$ ，筒车转轮的中心 $O$ 到水面的距离为 $1.2 m$ ，筒车每分钟沿逆时针方向转动 3 圈. 规定：盛水筒 $M$ 对应的点 $P$ 从水中浮现 (即 $P_{0}$ 时的位置) 时开始计算时间，且以水轮的圆心 $O$ 为坐标原点，过点 $O$ 的水平直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系 $x o y$ . 设盛水筒 $M$ 从点 $P_{0}$ 运动到点 $P$ 时所经过的时间为 $t$ (单位： $s$ )，且此时点 $P$ 距离水面的高度为 $h$ (单位： $m$ ) (在水面下则 $h$ 为负数)

(1)、求 $h$ 与时间 $t$ 之间的关系.

(2)、求点 $P$ 第一次到达最高点需要的时间为多少? 在转动的一个周期内，点 $P$ 在水中的时间是
多少?

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14、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面为平行四边形，点 $M, N, Q$ 分别为 $P C, C D, A B$ 的中点.

(1)、求证：平面 $M N Q / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、在棱 $P A$ 上确定一点 $S$ ，使 $N S / /$ 平面 $P B C$ ，并说明理由.

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15、已知向量 $\vec{a} = (1, 4)$ ， $\vec{b} = (3, 2)$ .

(1)、当 $k$ 为何值时， $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 垂直?

(2)、若 $\vec{A B} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + λ \vec{b}$ ，且 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线，求 $λ$ 的值.

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16、在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b = \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 内角 $B$ 的角平分线长为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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17、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2 \sqrt{2}$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{4}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为.

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18、已知 $\sin α + \cos α = \frac{7}{5}$ ，则 $\sin 2 α$ 的值为.

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19、已知函数 $f (x) = sin ω (x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, π)$ 上有且仅有 $2$ 个最小值点，下列结论正确的有（）

A、 $ω \in (3, \frac{33}{7}]$ B、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上最少 $3$ 个零点，最多 $4$ 个零点 C、 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上有 $2$ 个最大值点 D、 $f (x)$ 在 $(0, \frac{5 π}{33})$ 上单调递减

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20、在如图所示的直三棱柱中，点 $A$ 和 $B B_{1}$ 的中点 $M$ 以及 $B_{1} C_{1}$ 的中点 $N$ 所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积比为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{7}$ C、 $\frac{11}{17}$ D、 $\frac{13}{23}$

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