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相关试卷

1、已知复数 $z = 3 + m i$ ， $m \in R$ ，其中 $i$ 为虚数单位，若 $\frac{z}{1 + 3 i} > 0$ .

(1)、若 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，求 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点的坐标；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，求实数 $b$ ， $c$ 的值.

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2、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $D C = 1$ .点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上，满足 $D F ⊥ A E$ 交 $A E$ 于 $G$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求 $\vec{A E}$ 的模；

(2)、求 $A G$ 的长.

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3、已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $E - A_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积；

(2)、求四棱锥 $E - A A_{1} C_{1} C$ 的体积.

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4、给出下列四个命题，其中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (t - 2, 2 t + 3)$ ， $\vec{A C} = (4, 1)$ ，若角 $A$ 为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为 $t < \frac{5}{6}$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{O A} - \vec{O B} |=| \vec{O A} + \vec{O B} - 2 \vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{21}{8}$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心

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5、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ，若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ 的点，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、3

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6、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若 $A D = D B$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，且圆台的表面积为 $42 π$ ，则该圆台的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{6}$

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7、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面内的一组基底，若向量 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ 共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- 4$

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8、已知复数 $z = (m + 2) + (2 m - 5) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.若复数 $z$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $m = 2$ B、 $m = - 2$ C、 $m = \frac{5}{2}$ D、 $m = - \frac{5}{2}$

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9、已知向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$

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10、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝ $\sqrt{5}$ 百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝ $θ$ ， $θ \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $π$ )．
（1）当cos $θ$ ＝ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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11、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $D, E$ 分别为 $B B_{1}, A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A C D$ 的体积．

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12、在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\vec{m} = (a, c - 2 b)$ ， $\vec{n} = (\cos C, \cos A)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .
(1)求角 $A$ 的大小；
(2)若 $b + c = 5$ ， $Δ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $Δ A B C$ 的周长

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13、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin \frac{x}{2} cos \frac{x}{2} - \sqrt{2} {sin}^{2} \frac{x}{2}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、求 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ 上的最大值．

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14、已知正四棱台的下底面边长为4，上底面边长和侧棱长均为2，则该四棱台的体积为．

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15、已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为．

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16、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（）

A、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} ⊥ l_{3} \Rightarrow l_{1} ∥ l_{3}$ B、 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ， $l_{2} ∥ l_{3} \Rightarrow l_{1} ⊥ l_{3}$ C、 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3} \Rightarrow l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共面 D、 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共点 $\Rightarrow l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 共面

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17、已知 $i$ 是虚数单位， $z = \frac{2 i}{1 - i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、复数 $z$ 对应的点位于第二象限 B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、复数 $z$ 的共轭复数是 $\bar{z} = i + 1$ D、复数 $z$ 的虚部是 $i$

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18、已知角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3, 1)$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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19、若向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 3)$ ， $\vec{c} = (2, - 4)$ ，且 $\vec{a}$ ∥ $\vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(\frac{8}{13}, \frac{12}{13})$ B、 $(- \frac{8}{13}, \frac{12}{13})$ C、 $(8, 12)$ D、 $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$

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20、复数z =（a²-1）+（a+1）i，（a∈R）为纯虚数，则的取值是

A、3 B、-2 C、-1 D、1

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