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相关试卷

1、设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是半径为 $1$ 的圆上三点，若 $A B = \sqrt{2}$ ，则 $\overset{⃑}{A B} \cdot \overset{⃑}{A C}$ 的最大值为（）

A、 $3 + \sqrt{3}$ B、 $\frac{3}{2} + \sqrt{3}$ C、 $1 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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2、已知角 $α, β$ 满足 $tan α = \frac{1}{3}, 2 sin β = cos (α + β) sin α$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、2

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3、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ B、 $\vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ D、 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

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4、如图，一个水平放置的平面图形的直观图（斜二测画法）是一个边长为1的正方形，则这个平面图形的面积是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、1

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5、设 $m$ ， $n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A、若 $m / / α, n / / α$ ，则 $m / / n$ B、若 $m / / n, m / / α$ ，则 $n / / α$ C、若 $m \subset α, n \subset β$ ，则 $m, n$ 是异面直线 D、若 $α / / β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m / / n$ 或 $m$ ， $n$ 是异面直线

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6、复数z满足 $z (2 - i) = |3 + 4 i|$ ，则复数z的虚部是（）

A、2 B、 $2 i$ C、1 D、 $i$

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7、设 $n \geq 3$ ，对于数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ ，若对任意 $k \in \{1, 2, \dots, n - 1\}$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k}$ 与 $a_{k + 1} + a_{k + 2} + \dots + a_{n}$ 均为非负数或者均为负数，则称数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列.

(1)、判断数列 $\sin 0$ ， $\sin \frac{π}{2}$ ， $\sin π$ ， $\sin \frac{3 π}{2}$ ， $\sin 2 π$ 与数列 $\cos 0$ ， $\cos \frac{π}{2}$ ， $\cos π$ ， $\cos \frac{3 π}{2}$ ， $\cos 2 π$ 分别是否为强数列；

(2)、若存在公比为负数的等比数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{2025}$ ，使得它为强数列，求公比q的取值范围；

(3)、设 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 为强数列，且数列中正数与负数交替出现（不出现0），证明：一定可以从数列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中选出连续三项，不改变它们在原数列中的顺序，它们三项构成一个强数列.

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8、已知函数 $f (x) = 3 x^{2} - 8 \sin (x + φ)$ ，其中 $|φ| \leq π$ .

(1)、若函数 $f (x)$ 是偶函数，求 $φ$ ；

(2)、当 $φ = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的零点个数；

(3)、若 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) \geq 0$ ，求 $φ$ 的取值范围.

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9、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $A D = 4$ ， $∠ B A D = 60 °$ ， $P D ⊥ C D$ ， E为AB的中点，M为CE的中点.

(1)、证明： $P M ⊥ A B$ ；

(2)、若 $P A = \sqrt{15}$ ， N为PC中点，且AN与平面PDM所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{6}$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积.

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10、已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 的焦点为F，抛物线C上点 $M (2, y_{0})$ 满足 $|M F| = 3$ .

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设点 $D (- 1, 0)$ ，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明： $x = 1$ 是 $∠ A F B$ 的角平分线.

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11、在 $Δ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a (\cos C + \sqrt{3} \sin C) = b + c$ ，

(1)、求A.

(2)、若 $b = 5$ ， $c = 2$ ， BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，
（Ⅰ）求AM；
（Ⅱ）求 $\cos ∠ M P N$ .

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12、对7个相邻的格进行染色，每个格均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为.

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13、在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线 $y = x^{2} + a$ 与 $y^{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} x$ 相切，则 $a =$ .

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14、双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， P为双曲线上一点，且满足 $P F_{1} ⊥ x$ 轴， $∠ P F_{2} F_{1} = \frac{π}{6}$ ，则双曲线的离心率为.

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15、已知椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，直线l： $2 x + 3 y + 12 = 0$ . $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是椭圆的左、右顶点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点，过直线l上任意一点P作椭圆 $Γ$ 的切线PM，PN，切点分别为M，N，椭圆上任意一点Q（异于 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ）处的切线分别交 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 处的切线于点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，则（）

A、直线MN过定点 B、 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $B_{1}$ ， $B_{2}$ 四点共圆 C、当 $M N ∥ l$ 时， $(- \frac{3}{2}, - 1)$ 是线段MN的三等分点 D、 $|Q B_{1}| \cdot |Q B_{2}|$ 的最大值为9

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16、设函数 $f (x) = \frac{\sqrt{1 - \cos (π x)}}{x^{2} - 2 x + 3}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x)$ 存在对称轴 B、曲线 $y = f (x)$ 存在对称中心 C、 $f (x) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $2 |f (x)| \leq 3 |x|$

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17、下列说法正确的是（）

A、数据 $8, 6, 4, 11, 3, 7, 9, 10$ 的上四分位数为9 B、若 $0 < P (C) < 1$ ， $0 < P (D) < 1$ ，且 $P (\bar{D}) = 1 - P (D |C)$ ，则 $C, D$ 相互独立 C、根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为 $\hat{y} = 0.4 x + a$ ，若其中一个散点坐标为 $(- a, 5.4)$ ，则 $a = 9$ D、将两个具有相关关系的变量 $x, y$ 的一组数据 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， …， $(x_{n}, y_{n})$ 调整为 $(x_{1}, y_{1} + 3)$ ， $(x_{2}, y_{2} + 3)$ ， …， $(x_{n}, y_{n} + 3)$ ，决定系数 $R^{2}$ 不变
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ， $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}$ ）

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18、现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为 $(3, 2)$ 的方块：可以通过一次操作变成以下状态

中的任何一种： $(3, 1)$ ， $(3)$ ， $(2, 2)$ ， $(1, 2)$ 或 $(1, 1, 2)$ .游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（）

A、 $(3, 2, 1)$ B、 $(4, 2)$ C、 $(2, 1, 1)$ D、 $(5, 3)$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 a x - \ln x, x > 0 \\ 2 x^{2} + (2 a + 3) x + 2, x \leq 0 \end{array}$ ， $\forall x \in (\frac{1}{2}, + \infty)$ ，有 $f (x) \cdot f (- x) \geq 0$ 恒成立，则a的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{2 e}, \frac{2}{3}]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}]$ D、 $[\frac{2}{3}, 1]$

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20、已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 上一点 $P (1, 1)$ 关于x轴的对称点为Q，M是圆O上异于P，Q的任意一点，若 $M P, M Q$ 分别交x轴于点 $R, S$ ，则 $|O R| \cdot |O S| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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