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相关试卷

1、下列函数中为奇函数且在 $(0, + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $f (x) = - x^{3}$ B、 $f (x) = - \frac{1}{|x|}$ C、 $f (x) = x |x|$ D、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

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2、已知 $A (- 1, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，平面上有动点 $P$ ，且直线 $A P$ 的斜率与直线 $B P$ 的斜率之积为1.

(1)、求动点 $P$ 的轨迹 $Ω$ 的方程.

(2)、过点A的直线与 $Ω$ 交于点 $M$ （ $M$ 在第一象限），过点 $B$ 的直线与 $Ω$ 交于点 $N$ （ $N$ 在第三象限），记直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} = 4 k_{2}$ .试判断 $△ A M N$ 与 $△ B M N$ 的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.

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3、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．已知 $a_{1} = a_{3} + a_{4} = - 10$ ，则 $S_{n}$ 的最小值为．

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4、比亚迪将在2024年发布第二代刀片电池，能量密度更高，带来更长的续航里程，更耐低温，除此之外还将发布 $1000 V$ 高压 $Sic$ 平台，实现充电 $5 \sim 8$ 分钟续航500公里.已知在每款新能源电车正式发布前要对每辆车进行续航､抗压等相关系数的测验，现随机抽取将要上市发布的8台新能源电车进行续航系数测评，得到下列一组样本数据： $1, 2, 3, 4, 1, 5, 1, 2$ ，则（）

A、这组数据的众数为1 B、这组数据的极差为3 C、这组数据的平均数为2.5 D、这组数据的 $40 %$ 分位数为2

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5、若i是虚数单位，复数 $\frac{2 - i}{1 + i} =$

A、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ C、 $\frac{3}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{3}{2} i$

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6、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 60 °$ ， $E$ 是 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $B E$ 翻折使点 $A$ 到达点 $A_{1}$ 的位置， $F$ 为线段 $A_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $D F ∥$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，求直线 $A_{1} E$ 与平面 $A_{1} B C$ 所成角的大小.

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7、卵形曲线也叫卵形线，是常见曲线的一种，分笛卡尔卵形线和卡西尼卵形线.卡西尼卵形线是平面内与两个定点（叫做焦点）距离之积等于常数的点的轨迹.设焦点 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ 是平面内两个定点， $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = a^{2}$ （ $a$ 是定长），特别地，当 $c = a$ 时的卡西尼卵形线又称为伯努利双纽线，某同学通过类比椭圆与双曲线的研究方法，对伯努利双纽线进行了相关性质的探究，得到下列结论，其中正确的是（）

A、曲线过原点 B、关于原点中心对称且关于坐标轴成轴对称 C、方程为 ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ D、曲线上任意点 $P (x_{0} ， y_{0})$ ， $x_{0} \in [- a ， a]$ ， $y_{0} \in [- \frac{a}{2} ， \frac{a}{2}]$

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8、若数列 $\{a_{n}\} \{b_{n}\}$ 满足：对于任意正整数n， $(a_{n} - b_{n}) (a_{n + 1} - b_{n + 1}) \leq 0$ ，则称 $a_{n}$ ， $b_{n}$ 互为交错数列．记正项数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知1， $\sqrt{S_{n} + 1}$ ， $x_{n}$ 成等差数列，则与数列 $\{x_{n}\}$ 互为交错数列的是（）

A、 $a_{n} = n + \sin n π$ B、 $b_{n} = n + \cos n π$ C、 $c_{n} = 2 n + \sin n π$ D、 $d_{n} = 2 n + \cos n π$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - a x + 2 a, x < - 1 \\ 1 - \ln (x + 2), x ⩾ - 1 \end{array}$ 在 $R$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0]$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $[- 2, + \infty)$ D、 $[- 2, 0]$

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10、若向量 $\vec{a} = (2 x, 1), \vec{b} = (x - 1, x^{2})$ ，则“ $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ”是“ $x = \frac{2}{3}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，可以将其推广为：函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为 $y$ 关于 $x$ 的奇函数，给定函数 $f (x) = \frac{1}{3^{x} + 1}$ ，关于 $(0, b)$ 中心对称．

(1)、求 $b$ 的值 $;$

(2)、已知函数 $g (x) = - x^{2} + m x$ ，若对任意的 $x_{1} \in [- 1, 1]$ ，总存在 $x_{2} \in [1, + \infty)$ ，使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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12、已知不等式 $2 k x^{2} + k x + \frac{3}{8} > 0$ 在 $R$ 上恒成立．则 $k$ 的取值范围为．

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13、下列说法正确的是（）

A、函数 $y = a^{x - 1} + 1 (a > 0, a \neq 1)$ 的图像恒过定点 $A$ ，且点 $A$ 在直线 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ ， $(m, n > 0)$ 上，则 $m + 2 n$ 的最小值为8． B、若 $0 < x < \frac{1}{2}$ ，则 $x (1 - 2 x)$ 的最大值为 $\frac{1}{8}$ ． C、函数 $y = \frac{- 3 x^{2} + 2 x - 4}{x} (x > 0)$ 的最大值为 $2 - 4 \sqrt{3}$ ． D、若正数 $x$ ， $y$ 满足 $x y = x + y + 3$ ，则 $x y$ 的最小值是9．

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14、下列判断不正确的有（）

A、函数 $f (x) = \frac{|x|}{x}$ 与 $g (x) = \{\begin{matrix} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{matrix}$ 表示同一函数 B、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $x = 1$ 的交点最多有1个 C、函数 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ 是同一函数 D、函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 是增函数

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15、黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是： $R (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{q}, x = \frac{p}{q}, p, q \in N^{*}, \frac{p}{q} 为既约真分数 \\ 0, x = 0, 1 或 (0, 1) 上的无理数 \end{cases}$ （注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若 $f (x)$ 是奇函数，且 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = R (x)$ ，则 $f (\frac{\sqrt{2}}{2}) - f (\frac{17}{5}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{7}{10}$

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16、如图的曲线是幂函数 $y = x^{n}$ 在第一象限内的图象.已知 $n$ 分别取 $\pm 2, \pm \frac{1}{2}$ 四个值，与曲线 $C_{1} ､ C_{2} ､ C_{3} ､ C_{4}$ 相应的 $n$ 依次为（）

A、 $2, \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, - 2$ B、 $2, \frac{1}{2}, - 2, - \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}, - 2, 2, \frac{1}{2}$ D、 $- 2, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2$

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17、函数 $y = x^{2} - b x + c$ 的零点为1，2，则不等式 $x^{2} - c x - b > 0$ 的解集为（）

A、 ${x | - 1 < x < 3}$ B、 ${x | x < - 3$ 或 $x > 1}$ C、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 3}$ D、 ${x | - 3 < x < 1}$

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18、已知集合 $M = \{x | x - 1 < 2, x \in N^{*}\}$ ， $N = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\{0, 1, 2\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{2, 3\}$

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19、在平面内，若直线 $l$ 将多边形分为两部分，且多边形在 $l$ 两侧的顶点到 $l$ 的距离之和相等，则称 $l$ 为多边形的一条“等线”.已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : 3 x^{2} - y^{2} = 1$ 有相同的离心率， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为双曲线 $C_{1}$ 的左、右焦点， $P$ 为双曲线 $C_{1}$ 右支上一动点，双曲线 $C_{1}$ 在点 $P$ 处的切线 $l_{1}$ 与双曲线 $C_{1}$ 的渐近线交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 在 $B$ 上方），当 $P F_{2} ⊥ x$ 轴时，直线 $y = \sqrt{3}$ 为 $△ P F_{1} F_{2}$ 的等线.

(1)、求双曲线 $C_{1}$ 的方程；

(2)、若 $y = \sqrt{2} x$ 是四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的等线，求四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积；

(3)、已知 $O$ 为坐标原点，直线 $O P$ 与双曲线 $C_{2}$ 的右支交于点 $Q$ ，试判断双曲线 $C_{2}$ 在点 $Q$ 处的切线 $l_{2}$ 是否为 $△ A F_{1} F_{2}$ 的等线，请说明理由.
【注】双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 在其上一点 $P (x_{0}, y_{0})$ 处的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1$ .

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20、已知动点 $M$ 到点 $(0, \frac{3}{2})$ 的距离比它到直线 $y + 3 = 0$ 的距离小 $\frac{3}{2}$ ，记动点 $M$ 的轨迹为 $C$ .

(1)、求轨迹 $C$ 的方程.

(2)、已知直线 $l : y = k x + 3$ 与轨迹 $C$ 交于A，B两点，以A，B为切点作两条切线，分别为 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 相交于点 $P$ .若 $| A B | = | A P |$ ，求 $k$ .

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