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相关试卷

1、设 $x > 0$ ， $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，两个函数的图象如图所示.

(1)、判断 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 之间的对应关系；

(2)、根据 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的位置关系，写出一个关于 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的不等式，并证明.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 \times 3^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 3^{n}\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - {(- 1)}^{n}$ ，求数列 $\{n b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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3、人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程 $f (x) = 0$ 的根就是函数 $f (x)$ 的零点 $r$ ，取初始值 $x_{0}$ ， $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{1}$ ， $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{2}$ ，一直继续下去，得到 $x_{0}$ 、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{n}$ ，它们越来越接近 $r$ .若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3$ ，取 $x_{0} = 3$ ，则用牛顿法得到的 $r$ 的近似值 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ .

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在两个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 只有极大值没有极小值 C、当 $- e < k < 0$ 时，方程 $f (x) = k$ 有且只有两个实根 D、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则t的最小值为2

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6、以下关于数列的结论正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n} = 3 n^{2} + 2 n$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和 $T_{n} = 3^{n + 1} - 2$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列 C、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = \frac{c_{n} + c_{n + 2}}{2}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 为等差数列 D、若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{n + 1} = \sqrt{d_{n} d_{n + 2}}$ ，则数列 $\{d_{n}\}$ 为等比数列

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7、下列函数求导错误的是（）

A、 ${(sin x)}^{'} = - cos x$ B、 ${(e^{3})}^{'} {=e}^{3}$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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8、已知函数 $f (x) = x + 2 \sin x (x > 0)$ 所有极小值点从小到大排列成数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $\sin (a_{9}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、函数 $f (x) = \ln x - k x$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq 1$ B、 $k \geq 2$ C、 $k \geq e$ D、 $k \geq \frac{1}{e}$

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10、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{2}{a_{n + 1} + 1}$ ，其前 $n$ 项的积为 $T_{n}$ ，则 $T_{2025} =$ （）

A、1 B、-6 C、2 D、3

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11、如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，面积的改变量 $Δ S_{i} = S_{i + 1} - S_{i}$ ， $i = 1, 2, 3$ ，则 $Δ S_{2} =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$

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12、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 2)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 D、函数 $f (x)$ 共有两个极小值点

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 3 n - 16$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项是第（）项

A、5 B、6 C、7 D、8

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} a_{3} = 48$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、16 B、4 C、-2 D、-4

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15、已知函数 $f (x) = \sin x$ ，则 $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + △ x) - f (\frac{π}{6})}{△ x} =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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16、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 a x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $0$ ，求实数 $a$ 的值.

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17、记集合 $A$ ， $B$ 为集合 $S = {1, 2, 3, \dots, n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的两个子集，且满足 $A \cup B = S$ ， $A \cap B = \emptyset$ .定义： $f (A, B) = |\sum_{a \in A} a - \sum_{b \in B} b|$ （ $\sum_{a \in A} a$ ， $\sum_{b \in B} b$ 分别表示集合 $A$ ， $B$ 中所有元素的和）.

(1)、当 $n = 4$ 时，求 $f (A, B)$ 的所有可能的值；

(2)、求 $f (A, B)$ 的最小值；

(3)、设 $k$ 为不超过 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的自然数，且 $k$ 与 $\frac{n (n + 1)}{2}$ 的奇偶性相同，证明：存在 $A$ ， $B$ ，使得 $f (A, B) = k$ .

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18、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $e$ .过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 分别交 $C$ 的左、右两支于 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，且 $|A F_{1}| \cdot |B F_{1}| = | A B |^{2}$ .

(1)、求 $\frac{y_{1}}{y_{2}}$ 的值；

(2)、求 $e$ 的取值范围；

(3)、若 $e = 3$ ，证明： $|A F_{2}| = |B F_{2}|$ .

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19、记 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{n} > 0$ ， $4 S_{n} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} - 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \{\begin{cases} a_{n} - a_{n + 1}, & n 为奇数 \\ a_{n} + a_{n + 1}, & n 为偶数 \end{cases}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若对任意 $n \in N^{*}$ ， $T_{n} \geq 10 n + λ$ ，求实数 $λ$ 的取值范围.

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20、如图，在边长为2的正三角形 $A B C$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $A C$ ， $B C$ 的中点，将 $△ C E F$ 沿 $E F$ 翻折至 $△ P E F$ ，使得 $P E ⊥ A E$ .

(1)、证明：平面 $P B E ⊥$ 平面 $A B F E$ ；

(2)、求直线 $P B$ 与平面 $P E F$ 所成角的正弦值.

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