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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，小明刚学习完三角形中的相关定理后自主推导出了三角形面积公式 $S_{△ A B C} = \frac{1}{2} ■ \frac{\sin B \sin C}{\sin A}$ ，则■处应该填写.（用三角形已知边角表示）

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2、数学中有许多形状优美，寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中一个，所谓等腰四面体就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”下列说法正确的（）

A、“等腰四面体”各个面都是全等的锐角三角形 B、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的体积是 $\sqrt{95}$ C、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为5，6，7，则四面体的内切球半径为 $\frac{\sqrt{570}}{24}$ D、若“等腰四面体”三组对棱长度分别为a，b，c，则四面体的外接球半径为 $\frac{\sqrt{2}}{4} \sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}$

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3、有下列说法，其中正确的说法为（）

A、若 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ C、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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4、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，I为 $△ A B C$ 的内心，若 $a cos B - b cos A = c - b$ ，且 $\vec{A I} = \frac{\sqrt{3}}{3} \vec{I B} + \frac{λ}{3} \vec{I C}$ ，则 $λ$ 的值为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $3 - \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5、已知 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = 2$ ，且 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ 夹角为 $\frac{π}{3}$ ，动点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的最小值为（）

A、-8 B、-4 C、-2 D、2

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6、用斜二测画法画水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ .已知 $O^{'}$ 是斜边 $B^{'} C^{'}$ 的中点，且 $O^{'} A^{'} = 1$ ，则 $△ A B C$ 边 $B C$ 的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、4

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7、下列说法正确的是（）

A、有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱 B、如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 C、棱台的各侧棱延长后必交于一点 D、以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转所得的旋转体是圆台

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8、若 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，其中i是虚数单位，则复数 $z$ 的虚部为（）

A、1 B、i C、 $- 1$ D、 $- i$

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9、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别 $F_{1}, F_{2}, M$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $|F_{1} F_{2}| = 2, |M F_{1}| + |M F_{2}| = 4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $N$ 为圆 $C_{1} : {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 上任意一点，求 $|M N| + |M F_{2}|$ 的最小值；

(3)、已知直线 $l : y = k x + 1, (k \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $E$ 为坐标平面内不在直线 $l$ 上的动点，若直线 $A E, D E, B E$ 斜率的倒数成等差数列，证明：动点 $E$ 在定直线 $L$ 上，并求直线 $L$ 的方程.

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11、已知函数 $f (x) = a x e^{x} + 1$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上的最大值和最小值；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq ln x + x + 2$ ；

(3)、若 $\forall x \in [\frac{1}{e}, + \infty), f (x) \leq x^{2} ln x - x^{3} + x^{2} + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ ，对其进行两次智能模仿成年人活动检测.

(1)、若 $H_{1}$ 型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为 $\frac{9}{10}$ ；若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为 $\frac{3}{4}$ .已知 $H_{1}$ 型服务机器人第一次检测成功的概率为 $\frac{4}{5}$ ，求 $H_{1}$ 型服务机器人第二次检测成功的概率；

(2)、试产 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型合格的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}$ ，第二次检测时， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型合格的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ .两次检测相互独立，设经过两次检测后， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型服务机器人合格的种类数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 4, a_{1} + a_{3} + a_{5} = 18$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + b_{4} = 9, b_{2} + b_{5} = 18$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $A_{1} B = A_{1} C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A M A_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A B = \sqrt{2}, A A_{1} = 2$ ，求二面角 $B - A_{1} C_{1} - C$ 的余弦值.

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15、已知函数 $f (x) = (x + a) ln x (a > 0)$ .若当 $x > e$ 时，存在过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16、设 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点， $O$ 为坐标原点， $∠ O F M = 120^{\circ}$ ，则 $|F M| =$ .

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17、已知 ${(3 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则 $n$ 的值为.

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18、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则 $a = 1$ B、若 $a < 0, x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、若 $a = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(1, - 3)$ 中心对称 D、若 $a > 1$ ，则 $f (x)$ 有3个零点

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 恰有两个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(\frac{5 π}{8}, \frac{9 π}{8}]$ C、若 $f (x) \geq - 1$ ，且 $0 \leq x \leq 2 π$ ，则 $0 \leq x \leq \frac{3 π}{4}$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 恰有两个最值点，则 $m$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}]$

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20、早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, x \in R$ ，其中 $μ \in R, σ > 0$ 为参数.若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数为 $f (x)$ ，则称随机变量 $X$ 服从正态分布，则下列说法正确的是（）
（参考数据：若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973)$

A、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = μ$ 对称 B、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = μ$ 处达到峰值 $\frac{1}{\sqrt{2 π}}$ C、当 $σ$ 较小时，正态曲线“矮胖”，当 $σ$ 较大时，正态曲线“瘦高” D、若 $σ^{2} = 4, μ = 60$ ，则 $P (62 \leq X \leq 64) \approx 0.1359$

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