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相关试卷

1、若锐角 $α, β$ 满足 $sin α > \sin β$ ，则下列各式中正确的是（）

A、 $\cos α > \cos β$ B、 $\tan α > \tan β$ C、 $\frac{1}{\tan α} > \frac{1}{\tan β}$ D、以上说法均不对

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2、函数 $f (x) = \frac{1 - e^{x}}{1 + e^{x}} \sin x$ 的部分图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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3、已知 $A, B$ 是两个锐角，且满足 ${sin}^{2} A + {cos}^{2} B = \frac{5}{4} t, {cos}^{2} A + {sin}^{2} B = \frac{3}{4} t^{2}$ ，则实数t所有可能值的和为（）

A、 $- \frac{8}{3}$ B、 $- \frac{5}{3}$ C、1 D、 $\frac{11}{3}$

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4、 $cos (- 2100^{\circ})$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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5、设全集 $U = \{x \in N | x \geq 2\}$ ，集合 $A = \{x \in N | x^{2} \geq 8\}$ ，则 $∁_{U} A$ 等于（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $[2, 2 \sqrt{2})$

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6、命题 $p : \exists x \geq 0, e^{x} \geq 1$ 的否定为（）

A、 $\forall x \geq 0 {,e}^{x} < 1$ B、 $\forall x < 0 {,e}^{x} < 1$ C、 $\exists x \geq 0 {,e}^{x} < 1$ D、 $\exists x < 0 {,e}^{x} < 1$

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7、阅读下列材料：
定义1：设 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) ， B = (b_{1}, b_{2} ， \dots, b_{n})$ 是两个（项数有限的）实数数列．数列A和B的项满足以下三个条件：
（i） $a_{1} \geq a_{2} \geq \dots \geq a_{n}$ 且 $b_{1} \geq b_{2} \geq \dots \geq b_{n}$ ；
（ii）对于任意的 $k = 1, 2, 3, \dots, n - 1$ ，有 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} \geq b_{1} + b_{2} + \dots + b_{k}$ ；
（iii） $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{n}$ ．
那么我们就说数列 $A$ 优超于数列 $B$ ，写成 $A ≻ B$ 或 $B ≺ A$ ．
定义2：对函数 $f (x)$ ，若它的导函数 $f^{'} (x)$ 的导函数 $f^{″} (x) \geq 0$ ，就称 $f (x)$ 下凸．
定理：若函数 $f (x)$ 下凸，且数列 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 优超于数列 $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，即 $A ≻ B$ ，则 $f (a_{1}) + f (a_{2}) + \dots + f (a_{n}) \geq f (b_{1}) + f (b_{2}) + \dots + f (b_{n})$ ．
根据以上材料，回答下列问题：

(1)、判断数列 $A = (6, 3, 1, 0)$ 与数列 $B = (4, 3, 2, 1)$ 是否有优超关系，并证明你的结论．

(2)、若数列 $A = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 超于数列 $B = (b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n})$ ，即 $A ≻ B$ ，证明： $A$ 的方差不小于 $B$ 的方差．

(3)、若函数 $f (x) = e^{x} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} ln x - e - \frac{5}{12}$ ，证明： $f (\frac{3}{2}) + f (\frac{1}{2}) \leq f (2) + f (\frac{2}{3}) + f (\frac{1}{3})$ ．

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8、已知点 $A (- 1, 0), B (1, 0), P$ 是直线 $A B$ 外的一个动点， $P Q ⊥ A B$ ，垂足为 $Q$ ，且 $Q$ 在线段 $A B$ 外， ${|P Q|}^{2} = 3 |A Q| \cdot |B Q|$ ，记点 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ ．不过原点的直线 $l$ 交 $C$ 于 $M ， N$ 两点， $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $T$ ，直线 $T B$ 和 $N B$ 的斜率之积为 $6$ ．

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、判断 $l$ 是否过定点，若是则求出该定点，若不是则说明理由；

(3)、证明： $△ B M N$ 不可能为锐角三角形．

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9、在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，平面 $C_{1} A B ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、证明： $B C_{1} ⊥ A_{1} C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = A C = 2, B C_{1} = 2 \sqrt{6}$ ，且 $C C_{1}$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $60 °$ ，求 $B A_{1}$ 与 $C C_{1}$ 所成角的余弦值．

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10、某工厂为了解员工绩效分数达标情况与员工性别的关系，随机对该厂男、女各30名员工的绩效分数达标情况进行调查，整理得到如下列联表：单位：人
性别
绩效分数达标情况
合计
未达标
达标
男
20
10
30
女
5
25
30
合计
25
35
60

(1)、根据上表数据，依据小概率值 $α = 0.001$ 的 $χ^{2}$ 独立性检验，能否据此推断绩效分数达标情况与性别有关联？

(2)、该厂为激励员工，规定每月绩效分数的第一名奖励1千元，其他名次无奖励.甲为该厂员工，他在工厂开工的第一个月赢得奖励的概率为 $\frac{1}{5}$ ，从第二个月开始，若上个月没有赢得奖励，则这个月赢得奖励的概率为 $\frac{1}{5}$ ；若上个月赢得奖励，则这个月仍赢得奖励的概率为 $\frac{2}{5}$ ，求甲在前两个月所得奖金总额X（单位：千元）的分布列和数学期望.
附：
$α$
0.1
0.01
0.001
$x_{α}$
2.706
6.635
10.828
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

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11、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{1} = 1$ 且 $a_{n + 1} - S_{n} = 1$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n^{2}}{a_{n}}$ ，求 $b_{n}$ 的最大值．

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12、箱子中有大小相同的6个小球，分别标有数字1，1，2，2，3，4．甲、乙两人进行三轮比赛，在每轮比赛中，两人依次从箱子中随机摸出1球，甲先摸，乙后摸，摸出的球不放回，并比较摸出的球的标号大小，数字大的人得1分，数字小的人不得分，如果数字一样，则都不得分.经过三轮比赛后，箱子中的球被摸完，此时甲的累计得分比乙的累计得分大的概率是．

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13、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点为F，P，Q在椭圆上且关于原点对称，则 $\frac{1}{|P F|} + \frac{1}{|Q F|}$ 的取值范围是．

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14、如图，已知直线 $x = a$ ， $x = b (a < b < 0)$ 与函数 $y = 2^{x}$ ， $y = 4^{x}$ 的图象分别交于 $A$ ， $B$ ， $D$ ， $C$ 四点，且 $A B C D$ 为平行四边形，则（）

A、 $2^{a} + 2^{b} = 1$ B、 $2^{a + 1} + 2^{b + 1} = 1$ C、 $a + b < - 4$ D、 $a + b < - 2$

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15、下列说法正确的是（）

A、数据1，2，3，5，7，9的中位数大于平均数 B、数据0，1，0，1，0，1的标准差大于方差 C、在相关分析中，样本相关系数的绝对值越大，线性相关程度越强 D、已知随机变量X服从正态分布 $N (4, σ^{2})$ 且 $P (X \leq 6) = 0.85$ ，则 $P (2 < X \leq 4) = 0.35$

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16、已知函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 2024) \leq f (x) + 2025$ ， $f (x + 2025) \geq f (x) + 2026$ ，若 $f (1) = 1$ ，则 $f (2)$ 的取值范围是（）

A、 $[1, 2]$ B、 $[2, 3]$ C、 $[3, 4]$ D、 $[4, 5]$

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17、甲、乙、丙、丁4人参加活动，4人坐在一排有12个空位的座位上，根据要求，任意两人之间需间隔至少两个空位，则不同的就座方法共有（）

A、120种 B、240种 C、360种 D、480种

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18、已知圆 $P$ 的方程为 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，直线 $y = m x$ 与圆 $P$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $y = n x$ 与圆 $P$ 交于 $C, D$ 两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} + \vec{O C} \cdot \vec{O D}$ （ $O$ 为坐标原点）等于（）

A、4 B、8 C、9 D、18

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19、已知集合 $A = \{x | {log}_{2} x < 1\}, B = \{x | x < 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(0, 2)$

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20、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x^{2} + x + 3$ ，若函数 $g (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围

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性别	绩效分数达标情况		合计
性别	未达标	达标	合计
男	20	10	30
女	5	25	30
合计	25	35	60

$α$	0.1	0.01	0.001
$x_{α}$	2.706	6.635	10.828