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相关试卷

1、 ${(y - 2 x)}^{8}$ 的展开式中的第6项的二项式系数是（）

A、 $C_{8}^{6}$ B、 $C_{8}^{5} {(- 2)}^{5}$ C、 $C_{8}^{5}$ D、 $C_{8}^{6} {(- 2)}^{6}$

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2、离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设 $P$ 为多面体 $Γ$ 的一个顶点，定义多面体 $Γ$ 在点 $P$ 处的离散曲率为 $φ_{P} = 1 - \frac{1}{2 π} (∠ Q_{1} P Q_{2} + ∠ Q_{2} P Q_{3} + \dots + ∠ Q_{k - 1} P Q_{k} + ∠ Q_{k} P Q_{1})$ ，其中 $Q_{i} (i = 1, 2, \dots, k, k \geq 3)$ 为多面体 $Γ$ 的所有与点 $P$ 相邻的顶点，且平面 $Q_{1} P Q_{2}$ ，平面 $Q_{2} P Q_{3}, \dots$ ，平面 $Q_{k - 1} P Q_{k}$ 和平面 $Q_{k} P Q_{1}$ 为多面体 $Γ$ 的所有以 $P$ 为公共点的面.已知三棱锥 $P - A B C$ 如图所示.

(1)、求三棱锥 $P - A B C$ 在各个顶点处的离散曲率的和；

(2)、若 $P A ⊥$ 平面 $A B C, A C ⊥ B C, A C = B C = 8, M$ 为 $P C$ 中点，三棱锥 $P - A B C$ 在顶点 $C$ 处的离散曲率为 $\frac{3}{8}$ .求点 $C$ 到平面 $M A B$ 的距离；

(3)、在（2）的前提下，又知 $Q$ 为侧面 $P B C$ 内一动点，记二面角 $Q - A B - C$ 为 $α$ ，直线 $Q C$ 与平面 $A B C$ 所成角为 $β$ ，若 $α = β$ ，求三棱锥 $Q A B C$ 体积的最大值.

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ ，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、经过右顶点 $A$ 的直线与椭圆的另一个交点为 $M$ ，点 $M$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $N$ （ $M$ 与 $N$ 不重合），直线 $A M, A N$ 与 $y$ 轴的交点分别为 $P$ 和 $Q$ .若 $|M N| = |P Q|$ ，求线段 $M N$ 的长.

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4、如图，2025年中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地 $A B C D$ （包含边界和内部）， $B C$ 长为12米， $M N$ 为场地中间分割线，在距离 $N$ 点6米的 $E$ 处放置一只机器犬，在距离 $N$ 点3米的 $F$ 处放置一个机器人，机器犬行走的速度为机器人行走的速度的两倍，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点 $P$ （即 $|P E| = 2 |P F|$ ），则机器犬将被机器人捕获，点 $P$ 叫成功点.

(1)、请建立恰当的平面直角坐标系，求在这个矩形场地内（包含边界）成功点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、现准备在 $C$ 点处安装一台监测设备用来追踪机器犬被捕获的过程.若该设备发射的信号覆盖范围呈圆形，请问信号范围至少为多少米？

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5、已知点 $B (6, 1), C (3, 3), D (2, 5)$ ，

(1)、求 $△ B C D$ 的面积；

(2)、是否存在点 $A$ ，使四边形 $A B C D$ 为直角梯形？若存在，求出点 $A$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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6、若 $E, F$ 为平面上两个定点，则满足 $\vec{E M} \cdot \vec{E F}$ 为常数的动点 $M$ 的轨迹是直线，满足 $\vec{N E} \cdot \vec{N F} = 0$ 的动点 $N$ 的轨迹是圆.将此性质类比到空间中，解决下列问题.已知点 $O, A, B, C$ 为空间中四个定点， $|\vec{O B}| = |\vec{O A}| = 3 |\vec{O C}| = 6$ ，且 $\vec{O A}, \vec{O B}, \vec{O C}$ 两两的夹角都是 $60^{\circ}$ ，若动点 $P$ 满足 $\vec{O P} \cdot \vec{O C} = 12$ ，动点 $Q$ 满足 $\vec{Q A} \cdot \vec{Q B} = 0$ ，则 $|\vec{P Q}|$ 的最小值是.

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7、随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用.双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的左､右焦点， $A (3, 2 \sqrt{3})$ ，点 $M$ 的坐标为 $(1, 0)$ ，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为2 B、若从 $F_{2}$ 射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $∠ F_{1} A M = ∠ F_{2} A M$ D、过双曲线左支上 $B$ 点作双曲线的切线交 $x$ 轴于 $N (- \frac{1}{2}, 0)$ ，则 $|B F_{1}| = 7 \sqrt{3}$

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8、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y - 3 = 0, M (0, - 2)$ ，则下列命题正确的是（）

A、圆心坐标为 $(2, 1)$ B、过点 $M$ 引圆的两条切线，切点记为 $A, B$ ，则四边形 $A C B M$ 的面积为 $2 \sqrt{10}$ C、若经过点 $M$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，且弦长为4，则直线 $l$ 方程为 $5 x - 12 y - 24 = 0$ D、圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $y = x + 1$ 的距离为 $\sqrt{2}$

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9、已知直线 $2 x + y + 3 = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线过点 $(- 1, 1)$ B、直线的斜率为 $- 2$ C、直线的纵截距为3 D、直线不经过第一象限

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10、已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与椭圆交于 $A ， B$ 两点，若 $\vec{A F_{2}} = \frac{3}{2} \vec{F_{2} B}$ ，且 $∠ A F_{1} B = 90^{\circ}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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11、直线 $x = \sqrt{3}$ 的倾斜角为（）

A、 $30 °$ B、 $60 °$ C、 $90 °$ D、 $120 °$

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12、在直角梯形ABCD中，已知 $A B ∥ D C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $C D = 1$ ， $A D = 2$ ， $A B = 3$ ，动点E、F分别在线段BC和DC上，AE和BD交于点M，且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{D F} = (1 - λ) \vec{D C}$ ， $λ \in [0, 1]$ ．

(1)、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，求 $\vec{A E} \cdot \vec{B D}$ 的值；

(2)、当 $λ = \frac{2}{3}$ 时，求 $\frac{|D M|}{|M B|}$ 的值；

(3)、求 $|\vec{A F} + \vec{A E}|$ 的取值范围．

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13、如图， $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 为四边形 $O A B C$ 的斜二测直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 3, O^{'} C^{'} = 1, B^{'} C^{'} = 2$ .

(1)、求平面四边形 $O A B C$ 的面积及周长；

(2)、若四边形 $O A B C$ 以 $O A$ 为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积.

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14、已知向量 $\vec{a} = (\frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}), |\vec{b}| = 2 |\vec{a}|$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$

(1)、求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ；

(2)、求 $∣ 2 \vec{a} - \vec{b} ∣$ .

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15、正六棱台的上、下底面边长分别是2 cm和6 cm，侧棱长是5 cm，则它的表面积为 cm².

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16、在 $△ A B C$ 中，已知 $a = 2, b = \sqrt{2}, c = \sqrt{3} + 1$ ，角 $A =$ .

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17、在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在线段AC上，且 $A E = \frac{2}{3} A C$ .若 $\vec{E D} = λ \vec{A D} + μ \vec{A B}$ ，其中 $λ$ ， $μ \in R$ ，则 $λ + μ =$

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18、若正四面体的表面积为 $\sqrt{3}$ ，则（）

A、该正四面体的棱长为1 B、该正四面体的高为 $\sqrt{6}$ C、该正四面体的体积为 $\frac{\sqrt{2}}{12}$ D、该正四面体的外接球表面积为 $\frac{3π}{2}$

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19、已知向量 $\vec{a} = (- 3, 2)$ ， $\vec{b} = (2, 1)$ ， $\vec{c} = (λ, - 1)$ ， $λ \in R$ ，则（）

A、若 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ ，则 $λ = 4$ B、若 $\vec{a} = t \vec{b} + \vec{c}$ ，则 $λ + t = - 6$ C、向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量的坐标为 $(\frac{12}{13}, - \frac{8}{13})$ D、若 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $2 \vec{b} + \vec{c}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \infty, - \frac{13}{3}) \cup (- \frac{13}{3}, - 1)$

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20、已知复数 $z = (m^{2} - m - 2) + (m^{2} - 1) i$ ，其中 $m \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则（）

A、当 $m = - 1$ 时， $z$ 为纯虚数 B、当 $m = 1$ 时， $z \in R$ C、当 $m = 2$ 时， $\bar{z} = - 3 i$ D、当 $m = - 2$ 时， $|z| = 10$

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