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相关试卷

1、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等腰直角三角形，底面ABCD为矩形， $A B ⊥ P D$ ， $P A = P D = \sqrt{2}$ ，若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为 $O_{1}$ ，其外接球球心为 $O_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ B、四棱锥 $P - A B C D$ 的内切球半径为 $\sqrt{2} - 1$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $O_{1} O_{2}^{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$

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2、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，且 $|A F_{1}| = |F_{1} F_{2}| = 2$ ， P为C上位于第一象限内的点，且 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = \frac{18}{5}$ ， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的内角平分线交x轴于点M，则下列结论正确的是（）

A、椭圆C的离心率 $e = \frac{1}{2}$ B、 $\cos ∠ F_{1} P F_{2} = \frac{3}{5}$ C、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{|F_{1} M|}{|P F_{1}|} = \frac{2}{3}$

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3、在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为 $P_{A}$ ， $P_{B}$ ， $(P_{A}, P_{B} \in (0, 1))$ ，若5轮比赛后A，B的总得分分别为 $X_{A}$ ， $X_{B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $E (X_{A}) < E (X_{B})$ ，则 $P_{A} < P_{B}$ B、 $P (X_{A} = X_{B} = 3) \neq P (X_{A} : X_{B} = 2 : 3)$ C、若 $0 < P_{A} < P_{B} < \frac{1}{2}$ ，则 $D (X_{A}) < D (X_{B})$ D、若当且仅当 $k = 2$ 时， $P (X_{A} = k) (k = 0, 1, 2, \cdot \cdot \cdot 5)$ 取得最大值，则 $\frac{1}{3} < P_{A} < \frac{1}{2}$

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4、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线C： ${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 x^{2} - 2 y^{2}$ ，若点P为曲线C上的动点，则 $|O P|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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5、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (1) = 2$ ，且对 $\forall x \in R$ ， $f (x + 1) = 1 - \frac{1}{f (x)}$ ，则满足 $\sum_{i = 1}^{n} f (i) \leq 1015$ 的正整数n的最大值为（）

A、2026 B、2027 C、2028 D、2029

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6、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 和函数 $g (x) = 2 \cos (ω x + φ)$ 的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且 $f (1) = g (1)$ ，则（）

A、 $ω = 4 π$ ， $φ = \frac{π}{4}$ B、 $ω = 4 π$ ， $φ = \frac{π}{3}$ C、 $ω = 8 π$ ， $φ = \frac{π}{4}$ D、 $ω = 8 π$ ， $φ = \frac{π}{3}$

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7、若坐标原点O关于动直线l： $m x - y - m + 1 = 0 (m \in R)$ 的对称点为A，则点A的轨迹为（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

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8、“ $a = 2$ ”是“函数 $f (x) = \ln (x^{2} - a x + 1)$ 的值域为R”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{2}{5} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $\frac{3}{5} \vec{b}$

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10、若复数z满足 $2 z + \bar{z} = \frac{2}{1 + i}$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 1 + \frac{1}{3} i$ B、 $\frac{1}{3} - i$ C、 $1 - \frac{1}{3} i$ D、 $- \frac{1}{3} + i$

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11、已知集合 $A = \{x |0 < \sqrt{x} < 2\}$ ， $B = \{x \in Z ||x| \leq 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$

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12、对于椭圆 $Γ$ ： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上的任意两点P，Q定义“ $\oplus$ ”运算满足：过点 $S (1, \frac{3}{2})$ 作直线 $l / /$ 直线 $P Q$ （规定当P和Q相同时，直线 $P Q$ 就是 $Γ$ 在点P处的切线），若l与 $Γ$ 有异于S的交点T，则 $P \oplus Q = T$ ；否则 $P \oplus Q = S$ .已知“ $\oplus$ ”满足交换律和结合律，记 $P_{n} = \underset{n 个}{\underset{}{P \oplus P \oplus \cdot \cdot \cdot \oplus P}}$ .

(1)、若 $P (2, 0)$ ， $Q (- 1, - \frac{3}{2})$ ，求 $P \oplus Q$ ， $P_{2}$ 以及 $P_{2025}$ ；

(2)、对于 $Γ$ 上的四点 $P (2 \cos 2 θ, \sqrt{3} \sin 2 θ)$ ， $Q (2 \cos 2 φ, \sqrt{3} \sin 2 φ)$ ， $M (2 \cos 2 α, \sqrt{3} \sin 2 α)$ ， $N (2 \cos 2 β, \sqrt{3} \sin 2 β)$ ，求证： $\vec{P Q} / / \vec{M N}$ 的充要条件是 $α + β = θ + φ + k π (k \in Z)$ ；

(3)、是否存在异于S的点P，使得 $P_{4} = S$ ？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

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13、如图， $△ A B C$ ， $△ D B C$ ， $△ E B C$ 都是等边三角形，点D，E分别在平面 $A B C$ 的上方和下方，点 $O$ 为 $B C$ 中点.

(1)、求证：A，D，O，E四点共面；

(2)、若 $A D = A B = 2 \sqrt{3}$ ，求直线 $O E$ 与平面 $A C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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14、已知函数 $f (x) = k x^{2} - (k + 2) x - ln \frac{2}{x}$ ， $k \in R$ ．

(1)、当 $k > 2$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $k = 2$ 时，求 $f (x) > 0$ 的解集；

(3)、若函数 $f (x)$ 图象上有三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，并且从左到右横坐标成等差数列，判断曲线 $f (x)$ 在点 $B$ 处的切线斜率与 $A$ ， $C$ 两点连线斜率的大小关系．

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15、某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为 $\frac{1}{3}$ ，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，中奖与否互不影响.

(1)、已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择：
方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励.
方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励；
通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？

(2)、若一位同学答对了一道题目.他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率.

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a cos C + b = 0$ ， $b = \frac{\sqrt{2}}{4} c$ ．

(1)、求 $cos C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{4}$ ， $D$ 是 $B C$ 上的点，且 $∠ A D B = \frac{3π}{4}$ ，求 $C D$ 的长．

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17、已知棱长为 $a$ 的正四面体 $P - A B C$ ，且 $\vec{A M} = \frac{7}{9} \vec{A B}$ ， $Q$ 为侧面 $P B C$ 内的一动点，若 $Q M = \frac{\sqrt{7}}{3} Q B$ ，则点 $Q$ 的轨迹长为．

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18、已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\sin (α - β) = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\tan α \tan β = 3$ ，则 $\cos (α + β) =$ .

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19、设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，若 $P (X \leq a) = 0.3$ ，则 $a =$ .

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20、设函数 $f (x) = \frac{3 x + 2}{2 x + 3}$ ，数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = \frac{3}{2}$ ， $x_{n + 1} = f (x_{n})$ ，则（）

A、 $x_{2} = \frac{13}{12}$ B、 $f (x_{n}) + f (\frac{1}{x_{n}})$ 为定值 C、数列 $\{\frac{x_{n} + 1}{x_{n} - 1}\}$ 为等比数列 D、 $x_{n} < 1 + \frac{1}{5^{n - 1}}$

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