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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = \frac{x^{a + 3} + 4}{x^{2 a}} (a > 0, b \in R)$ 是定义在 $[- 4 a, 0) \cup (0, b]$ 上的偶函数， $f (2) = 5$ .

(1)、求 $a, b$ 的值及 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(0, b)$ 上的单调性（要求写出单调区间），用定义证明单调性；

(3)、若 $t^{2} - 2 t + 1 < f (x)$ 在定义域内恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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2、某工厂对甲产品进行促销活动，甲产品的年销售量（该厂的年产量为年销售量） $x$ 万件与促销费用 $t (t \geq 0)$ 万元满足 $x = \{\begin{cases} 10 - \frac{24}{25 (t + 2)}, t \geq 10 \\ - \frac{2}{5} t^{2} + \frac{101}{25} t - \frac{4}{5}, 0 \leq t < 10 \end{cases}$ .已知生产甲产品的固定投入为9万元，每生产1万件甲产品需要再投入25万元，工厂将甲产品的销售价格定为甲产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，甲产品年平均成本 $= \frac{固定投入资金 + 再投入资金}{产品年产量}$ ）．

(1)、写出甲产品的年利润 $y = f (t)$ 关于年促销费用 $t$ 的函数；

(2)、该工厂投入年促销费用多少万元时，该工厂的利润最大？

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 t x + t - 1, t \in R$ .

(1)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < 0$ 解集为 ${x ∣ b < x < 3}$ ，求 $t, b$ 的值；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) + t > 0$ .

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4、设集合 $A = \{x ∣ x^{2} + 2 x - 8 \leq 0\}, B = {x ∣ 1 - a \leq x \leq 3 a + 2}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A, A \cap B$ ；

(2)、若 $A \subseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知一次函数 $y = a x + b (a \neq 0)$ 的图象过点 $(1, 3)$ ，且与坐标轴围成的三角形面积为2，记所有满足条件的 $a$ 值组成集合 $S$ ；函数 $f (x) = | x - 1 |$ ，若对任意 $s \in S$ ，不等式 $f (f (s x)) \leq 2$ 恒成立，则实数 $x$ 的取值范围是.

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6、若 $f (x) = x + \sqrt{1 - x}$ ，则函数 $f (x)$ 的值域为.

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7、化简： ${(a^{\frac{2}{3}} b)}^{2} \div \sqrt[3]{a} \cdot {(b - 1)}^{0} =$ .

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8、定义 $\max \{f (x), g (x)\} = \{\begin{array}{l} f (x), f (x) \geq g (x) \\ g (x), g (x) > f (x) \end{array}$ ，函数 $M (x) = \max \{|x^{2} - 4 x + 3|, x - 2\}$ ，下列选项中正确的有（）

A、函数 $M (x)$ 的单调递增区间为 $(1, 2), (\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, + \infty)$ B、若方程 $M (x) = m$ 有3个不相等的实数根，则 $m = 1$ C、若 $M (x)$ 在区间 $[a, b]$ 内的最大值为1，则 $b - a$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ D、存在不唯一的非负实数对 $(p, q)$ ，使得 $M (x)$ 在 $[p, q]$ 上的值域也为 $[p, q]$

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9、下列命题正确的有（）

A、若正数 $a, b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $a b$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ B、若正数 $a, b$ 满足 $a + b = a b$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、若 $a > - 1, b \in R$ 满足 $a + b + a b = 1$ ，则 $a + 2 b$ 的最小值为2 D、若 $a, b$ 满足 $a^{2} + b^{2} + a b = 1$ ，则 $a b$ 的最小值为 $- 1$

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10、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x - 1, & x \geq 0 \\ - \frac{1}{x}, & x < 0 \end{array}$ ，则 $f (x) = 1$ 的解是（）

A、-1 B、0 C、2 D、3

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11、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $x_{1} < x_{2}$ ，都有 $(x_{1} - x_{2}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] > 0$ ，且 $f (x^{2} - x f (x)) = 1$ ，则 $2 f (1)$ 的值是（）

A、 $- 2$ B、0 C、2 D、4

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12、对 $\forall x \in [1, 2]$ 不等式 $x^{2} - a x + a - 1 \leq 0$ 恒成立的一个充分不必要条件为（）

A、 $a \geq 3$ B、 $a > 4$ C、 $a > 2$ D、 $a < 3$

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13、已知奇函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，当 $x < 0$ 时， $f (x)$ 为增函数，且 $f (- 3) = 0$ ，则 $f (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$

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14、已知 $f (x)$ 为偶函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = 2 x^{2} - x$ ，则 $f (2)$ 的值为（）

A、-10 B、6 C、-6 D、10

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15、命题“ $\exists x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} < 3$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} \geq 3$ B、 $\forall x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} < 3$ C、 $\exists x \in (1, 2), x + \frac{1}{x} \geq 3$ D、 $\exists x \notin (1, 2), x + \frac{1}{x} < 3$

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16、函数 $f (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 5}$ 的定义域是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[- 5, + \infty)$ C、 $[- 1, 5) \cup (5, + \infty)$ D、 $(- 1, 5) \cup (5, + \infty)$

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17、下列函数中，在定义域内为减函数的是（）

A、 $y = x$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = - \sqrt{x}$ D、 $y = x + \frac{1}{x}$

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18、已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x < 3}, B = {x ∣ 0 < x \leq 3}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x ∣ 0 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 1 \leq x \leq 3}$ C、 ${x ∣ - 1 < x < 3}$ D、 ${x ∣ 2 < x \leq 3}$

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19、已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列，公差 $d \neq 0$ ， $\{a_{n}\}$ 中的部分项 $a_{k_{1}}, a_{k_{2}}, \dots \dots, a_{k_{n}}$ 恰为等比数列，且公比为 $q$ ，若 $k_{1} = 1$ ， $k_{2} = 6$ ， $k_{3} = 16$

(1)、求 $q$ ；

(2)、求数列 $\{k_{n}\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项之和.

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20、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，由 $C$ 的上顶点、右顶点及右焦点组成的三角形的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $N (0, 3)$ ，过点 $M (0, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于不同两点 $A$ ， $B$ ．证明： $k_{N A} + k_{N B} = 0$ ．

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