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相关试卷

1、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a b = a + 2 b + 6$ ，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{25}{3}$

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2、已知命题 $p : \exists x \in [1, 2], 2 x - 2 + m > 0$ ，命题 $q : \forall x \in [1, 3]$ ，不等式 $m x \geq x^{2} + 4$ 恒成立，若p和q有且仅有一个正确，则实数m的取值范围为（）

A、 $(- \frac{2}{3}, 5)$ B、 $(- 2, - \frac{2}{3})$ C、 $(- 2, - \frac{2}{3}) \cup (0, 5)$ D、 $(- 2,5)$

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3、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} f (x - 2), x > 2 \\ x^{2} + x, x \leq 2 \end{cases}$ ，则 $f (0) + f (f (4)) =$ （）

A、0 B、4 C、6 D、8

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4、“函数 $y = a x^{2} + x + a (a > 0)$ 在区间 $[0, 3]$ 单调递增”是“ $0 < a < 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且它的图象关于 $x = 1$ 对称，当 $x_{1} > x_{2} \geq 1$ 时， $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ 恒成立，则下列命题正确的是（）

A、 $f (0) > 0$ B、 $f (0) < f (π)$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, 2)$ 内单调递增 D、 $f (x)$ 在 $x = 1$ 时取最大值

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6、已知集合 $A = {y ∣ 3 y - 2 \geq 2 y - 3}, B = {x ∣ - 2 \leq x \leq 0}, U = R$ ，则 $A \cap ∁_{U} B =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 2) \cup (0, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$

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7、已知 $f (x) = \frac{1}{4} {(x - 3)}^{2} + 1$ ，则函数 $f (x)$ 在下列区间内单调递增的是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- \infty, 3)$ C、 $(3, + \infty)$ D、 $(2, 3)$

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8、已知集合 $A = {0, 1}, B = {- 3, 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${0, 1, - 3, 1}$ B、 ${- 3, 0, 1}$ C、 ${0, - 3}$ D、 ${1}$

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} + 3 x | x - a |$ ，其中 $a \in R$ ，
(1)当 $a = 2$ 时，把函数 $f (x)$ 写成分段函数的形式；
(2)当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在区间[1，3]上的最值；
(3)设 $a \neq 0$ ，函数 $f (x)$ 在(m，n)上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用 $a$ 表示）．

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10、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间之间的关系用图甲的折线表示，西红柿的种植成本与上市时间之间的关系用图乙的抛物线段表示．

(1)、写出图甲表示的市场售价与上市时间的函数关系式 $P = f (t)$ 和图乙表示的种植成本与上市时间的函数关系式 $Q = g (t)$ ；

(2)、若设定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元／ $10^{2} kg$ ，时间单位：天）

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11、设二次函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 在区间 $[- 2, 2]$ 上的最大值､最小值分别是 $M ､ m$ ，集合 $A = \{x ∣ f (x) = x\}$ .

(1)、若 $A = \{1, 2\}$ ，且 $f (0) = 2$ ，求 $M$ 和 $m$ 的值；

(2)、若 $A = \{1\}$ ，且 $a \geq 1$ ，记 $g (a) = M + m$ ，求 $g (a)$ 并求它的最小值（直接写出答案不必说明理由）.

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12、已知关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + b x + c \geq 0$ ．

(1)、当 $a = - 1$ ， $b = 2$ ， $c = 1$ 时，求该不等式的解集；

(2)、当 $a = m$ ， $b = m - 2$ ， $c = - 2$ 时，求该不等式的解集．

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13、已知集合 $A = \{x |0 < \frac{x - 1}{3} \leq 1\}, B = \{x |0 < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}\}$ .

(1)、若集合 $C = {x ∣ x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B}$ ，求集合 $C$ ；

(2)、设集合 $D = {x ∣ 3 - a < x < 2 a - 1}$ ，满足 $A \cup D = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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14、已知 $f : x \to x^{2}$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的函数.如果 $B = \{1, 2\}$ 且 $A \cap B = \{1\}$ ，则满足条件的集合 $A$ 的个数是.

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15、下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 的定义域为 $[- 2, 2]$ ，则 $f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ B、关于 $x$ 的不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 恒成立，则实数 $k$ 的取值范围是 $(- 3, 0)$ C、函数 $y = 2 x - \sqrt{1 - x}$ 的值域为 $(- \infty, 2]$ D、函数 $f (x) = - x^{2} - 4 x + 2$ 在 $[m, 0]$ 上的值域为 $[2, 6]$ ，则 $m$ 的取值范围为 $[- 4, - 2]$

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16、已知实数a，b，c，若 $a > b$ ，则下列不等式不成立的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} > b^{2}$ C、 $\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}$ D、 $a |c| > b |c|$

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17、若 $a > 0, b > 0$ ，则“ $a + b \geq 4$ ”是“ $a b \geq 4$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ ， $A D / / B C$ 且 $A B ⊥ A D$ ， $A D = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{2}$ ， $△ P A D$ 的面积等于 $12 \sqrt{2}$ ， E是PD是中点.
（Ⅰ）求四棱锥 $P - A B C D$ 体积的最大值；
（Ⅱ）若 $P B = 4 \sqrt{5}$ ， $\tan ∠ P A D = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .
（i）求证： $A D ⊥ P C$ ；
（ii）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.

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19、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 底面 $A B C$ ，若二面角 $P - A B - C$ 的大小为30°， $A B ⊥ B C$ ， $A C = 2$ ， $P C = 1$ ， $M$ 是 $P A$ 上靠近点 $A$ 的三等分点， $N$ 是 $P B$ 上的一点，且 $P B = 4 P N$ .

(1)、求直线 $B C$ 与直线 $P A$ 所成角的余弦值；

(2)、求三棱锥P－MNC的体积.

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20、神舟十四号，简称“神十四”，为中国载人航天工程发射的第十四艘飞船，已经于2022年6月5日上午10时44分07秒在酒泉卫星发射中心发射，3名航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲进驻核心舱并在轨驻留6个月．“神十四”的成功发射是我国载人航天上又一个重要的里捏碑，实现了“神十四”与天宫一号的快速对接，创造了新的奇迹，为了宣传这一航天盛事，某高校组织了一场航天知识竞赛，共有1000名大学生参加，经统计发现他们的成绩（满分120）全部位于区间 $[50, 110]$ 内．现将成绩分成6组： $[50, 60)$ ， $[60, 70)$ ， $[70, 80)$ ， $[80,90)$ ， $[90, 100)$ ， $[100, 110]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图估计该1000名大学生成绩的平均分是77分，现规定前250名在10天后进行复赛.

(1)、求a，b的值（同一组数据用该组区间的中点值为代表），并根据频率分布直方图估计进入复赛的分数线（结果保留整数）；

(2)、复赛共分为两个环节：A和B，经统计，通过初赛的学生在准备复赛的首日有 $\frac{2}{3}$ 的学生准备项目A，其余学生准备项目B；在前一天准备项目A的学生中，次日会有 $\frac{4}{5}$ 的学生继续选择准备项目A，其余选择准备项目B；在前一天选择准备项目B的学生中，次日会有 $\frac{2}{3}$ 的学生继续选择准备项目B，其余学生选择准备项目A，用频率近似估计概率，记某学生在第n天准备项目A的概率为 $P_{n}$ ，求 $P_{10}$ ．

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