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相关试卷

1、设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ．

(1)、证明： ${[f (x)]}^{2} = g (2 x) - {[g (x)]}^{2}$ ；

(2)、令 $h (x) = \frac{g (x)}{f (x)}$ ．
①解关于实数a的不等式： $h (a - 1) + h (2 a) < 0$ ；
②若对于任意的 $x \in [\frac{1}{2} \ln 3, + \infty)$ ，不等式 ${[h (x)]}^{2} + 2 m h (x) - 3 m - 3 < 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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2、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，满足 $b \cos A = (2 c - a) \cos B$ ．

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值；

(3)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $D$ 为线段 $A C$ 上一点，满足 $B D = C D = 2 A D$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 °$ ，点M在边BC上且 $\vec{B M} = \frac{1}{4} \vec{B C}$ ， AM与AC边上的中线BN相交于点P．

(1)、求中线BN的长；

(2)、若 $\vec{A P} = λ \vec{A M}$ ， $\vec{B P} = μ \vec{B N}$ ， $λ$ 、 $μ \in R$ ，求 $λ + 3 μ$ 的值．

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4、在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 $\vec{i}$ 、 $\vec{j}$ ，已知向量 $\vec{a} = 2 \vec{i} + 4 \vec{j}$ ，向量 $\vec{b} = 3 \vec{i} + x \vec{j}$ ，向量 $\vec{c} = 4 \vec{i} + y \vec{j}$ ， $x, y \in R$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ．

(1)、求x与y的值；

(2)、若向量 $\vec{m} = \vec{b} - \vec{a}$ ，向量 $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ ，求向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ 的夹角的大小．

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5、中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度 $M N$ ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物 $A B$ ，高约为 $37 m$ ，在地面上点 $C$ 处（ $B$ ， $C$ ， $N$ 三点共线）测得建筑物顶部 $A$ ，鹳雀楼顶部 $M$ 的仰角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，在 $A$ 处测得楼顶部 $M$ 的仰角为 $15 °$ ，则鹳雀楼的高度约为 $m$ ．

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6、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 所对的边，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $C = 30 °$ ，则边 $c =$ ．

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7、如下图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = 4$ ， D是棱 $C C_{1}$ 上任一点，且不与点C重合，则下列正确的是（）

A、若D是棱 $C C_{1}$ 中点，则三棱锥 $A - B C D$ 的体积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ B、三棱锥 $A_{1} - A B D$ 体积为定值 C、 $△ A_{1} B D$ 周长的最小值为 $8 \sqrt{2} + 4$ D、棱AB上总存在点E，使得直线 $C E / /$ 平面 $A_{1} B D$

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8、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} + 2 \vec{b} = (- 5, 4)$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $\frac{1}{10} \vec{b}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{17}$ D、与 $\vec{a}$ 垂直的单位向量为 $(- \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}})$

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9、定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0, 2]$ 时， $f (x) = x (2 - x)$ ，若对任意的 $x \in (- \infty, m]$ 都有 $f (x) \leq 3$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, \frac{9}{2}]$ B、 $(- \infty, \frac{11}{2}]$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(- \infty, 4]$

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10、正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为 $1$ 的正八面体，则此正八面体的体积与表面积的数值之比为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{18}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{9}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$

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11、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 2 b$ ， $\sin A = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos B =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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12、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} / / B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} A^{'} = 2 B^{'} C^{'} = 4$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的面积为（）

A、 $12 \sqrt{2}$ B、12 C、 $6 \sqrt{2}$ D、6

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13、已知m，n表示两条不同直线， $α$ 表示平面，下列说法正确的是（）

A、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ∥ n$ B、若 $m ∥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ C、若 $m ⊥ α$ ， $m ⊥ n$ ，则 $n ∥ α$ D、若 $m ⊥ α$ ， $n \subset α$ ，则 $m ⊥ n$

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14、复数 $\frac{2}{- 1 + i}$ 的共轭复数是（）

A、 $- 2 - i$ B、 $2 - i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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15、已知集合 $M = {x ∣ 3 x + 2 \leq 8}$ ， $N = {0, 1, 2, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 2, 3}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${1, 2}$ D、 $\emptyset$

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16、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, △ A B C$ 所在平面内有一点 $D$ 满足 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ，且 $C D = 2$ ．

(1)、若 $∠ A C B = 60^{\circ}$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值；

(2)、若 $∠ C D B = 120^{\circ}$ ，当 $\frac{A C}{B C}$ 取得最小值时，求 $B D$ 的值．

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17、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ = \frac{2 π}{3}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 2$ ．

(1)、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值．

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18、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $\tan A + \tan B + \tan C > 0$ ，则 $△ A B C$ 可以是钝角三角形 B、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $(\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|}) \cdot \vec{B C} = 0$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} \cdot \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 为直角三角形 D、若 $△ A B C$ 平面内有一点 $O$ 满足： $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等边三角形

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19、如图，已知圆台形水杯（不计厚度）内盛有牛奶，杯口的直径为4，杯底的直径为2，杯高为4，当杯底水平放置时，牛奶面到杯底的距离为水杯高度的一半，则（）

A、该水杯的侧面积为12π B、该水杯中牛奶的体积为 $\frac{19}{6} π$ C、该水杯中牛奶的体积为3π D、该水杯外接球的表面积为 $\frac{425}{16} π$

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20、2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ 满足 $∠ A^{'} C^{'} B^{'} = 45 °$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ．由C点测得B点的仰角为 $15 °$ ， $B B^{'}$ 与 $C C^{'}$ 的差为100；由B点测得A点的仰角为 $45 °$ ，则A，C两点到水平面 $A^{'} B^{'} C^{'}$ 的高度差 $A A^{'} - C C^{'}$ 约为（ $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）（）

A、346 B、373 C、446 D、473

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