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相关试卷

1、已知 $\cos φ = - \frac{1}{3} (π < φ < 2 π)$ ，则 $sin 2 φ =$ ．

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2、函数 $y = a^{x} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 的反函数过点 $(9,2)$ ，则 $a =$ ．

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3、下列计算正确的是（　　）

A、 ${(2^{\frac{1}{4}})}^{2} = \sqrt{2}$ B、 $\lg 2 + \lg 5 = 1$ C、 $e^{2 \ln 3} = 6$ D、 $\log_{2} 3 \cdot \log_{3} 4 \cdot \log_{4} 8 = 3$

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4、已知函数 $f (x) = cos (2 x + \frac{π}{3})$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象可由 $y = cos 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递减

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5、已知某函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

A、 $y = x \sin x$ B、 $y = | x | \cos x$ C、 $y = x + \sin x$ D、 $y = - x \sin x$

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6、已知某扇形的弧长和面积均为 $2$ ，则该扇形的圆心角（正角）为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $π$ C、 $2$ D、 $1$

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7、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{e^{x}} ， g (x) = 1 - a x^{2} (a \in R) .$

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $0 < a < \frac{1}{2}$ 时，判断方程 $f (x) = g (x)$ 的实根个数，并加以证明；

(3)、求证：当 $a \geq 1$ 时，对于任意实数 $x \in [- 1 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) \geq g (x)$ 恒成立．

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9、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 底面是边长为2的正方形，高为4，E为线段AB的中点，F为线段 $C A_{1}$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、求直线EF与平面 $A_{1} D C$ 所成角的正弦值.

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10、从7名男生和5名女生中选取3人依次进行面试．

(1)、若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？

(2)、若参加面试的人中，恰好有1名女生，则有多少种不同的面试方法？

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11、如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}, D$ 是BC的中点， $\vec{A P} = \frac{1}{2} \vec{P D}$ ，则 $\vec{O P} =$ （）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

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12、下列函数中，在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递减的是（）

A、 $y = \frac{1}{x} - x$ B、 $y = x^{2} - x$ C、 $y = \ln x - x$ D、 $y = e^{x}$

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13、平面 $α$ 经过三点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (2, 2, 0)$ ， $B (0, 0, 2)$ ，则平面 $α$ 的法向量可以是

A、 $(1, 0, 1)$ B、 $(1, 0, - 1)$ C、 $(0, 1, 1)$ D、 $(- 1, 1, 0)$

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14、已知函数 $f (x) = \ln x - a x$ 在 $x = 2$ 处取得极值，则 $a =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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15、如图1，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 2, A D = 1, M$ 为 $D C$ 的中点，将 $△ A D M$ 沿 $A M$ 折起，得到四棱锥 $D_{1} - A B C M$ （如图2），使得平面 $A M D_{1} ⊥$ 平面 $A B C M$ .

(1)、求证： $A D_{1} ⊥ B M$ ；

(2)、求直线 $C D_{1}$ 与平面 $B M D_{1}$ 所成角的正弦值；

(3)、若 $E$ 是线段 $D_{1} B$ 上的一动点，当点 $E$ 在何位置时，二面角 $E - A M - D_{1}$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ？

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16、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + a x - 6 y + 12 = 0$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $3 x + y - 8 = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，求 $|A B|$ ；

(3)、在（2）的前提下，若点 $Q$ 是圆 ${(x + 4)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 10$ 上的点，求 $△ Q A B$ 面积的最大值.

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17、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $a sin B - b cos (A - \frac{π}{6}) = 0.$

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点(不包含端点)，且满足 $∠ A D B = 2 ∠ A C B$ ，
(i) 若 $A D ⊥ B C$ ， $c = 3$ 求 $C D$ 的长；
(ii) 求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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18、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = 3 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ ．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19、如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为 $1$ 的等差数列和一个公差为 $2$ 的等差数列，每一行是一个公差为 $1$ 的等差数列.我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 $\{a_{n}\}$ ： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ， $7$ ， $\dots$ ，则 $a_{50} =$ .

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20、若双曲线 $C$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有相同的渐近线，且双曲线 $C$ 的右焦点在直线 $y = x - 10$ 上，则双曲线 $C$ 的标准方程为．

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