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相关试卷

1、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} = a_{n + 1} + n - 2$ ．

(1)、证明： $\{a_{n} - 1\}$ 是等比数列；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、记 $c_{n} = {[\log_{2} (a_{n} - 1)]}^{2}$ ，若不等式 $(a_{n + 1}^{2} - a_{2 n + 1}) m \geq c_{n} - 6$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - 3 x - 2 ln x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求函数 $f (x)$ 在 $[1, 4]$ 上的值域；

(3)、设 $g (x) = x^{2} - 3 x + \frac{2}{x} - 2$ ，证明： $f (x) \leq g (x)$ ．

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3、已知递增的等比数列 $\{a_{n}\}$ 和等差数列 $\{b_{n}\}$ ，满足 $a_{1} + a_{4} = 18 ， a_{2} a_{3} = 32$ ， $b_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的等差中项，且 $b_{3} = a_{3} - 3$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = \frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4、在 ${(2 x + \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 $2 : 1$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中含 $x^{4}$ 的项的二项式系数．

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5、 $4$ 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为.

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6、若函数 $f (x) = \frac{3}{x} + \ln x$ 在区间 $(m, m + 1)$ 上是单调减函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 2, S_{20} - S_{15} = 8$ ，则 $S_{10} =$ ．

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8、由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，则所有组成的五位数中（）

A、奇数有60个 B、能被5整除的有24个 C、1在万位而2不在个位的有18个 D、比12345大的有108个

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9、将数字（ $1, 2, 3$ ）､字母（ $a, b, c$ ）和符号（★，❤，☼）放入到下面的九宫格中，每个格子只能放一个数字､字母或符号，每个数字､字母或符号都必须使用，且只能用一次．则每行每列都有数字､字母和符号的排法有（）种

A、648 B、1048 C、1296 D、2592

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 3^{n}, b_{n} = n$ ，在 $b_{m}$ 与 $b_{m + 1}$ 之间插入数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $m$ 项，构成新数列 $\{c_{n}\}$ ，即 $b_{1}, a_{1}, b_{2}, a_{1}, a_{2}, b_{3}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, b_{5}, \dots$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{S_{6}} c_{i} =$ （）

A、128 B、558 C、884 D、4944

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11、已知函数 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = \frac{1}{e}$ ，对任意实数x都有 $f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) < e^{x - 2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(e, + \infty)$

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12、某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（）

A、120 B、180 C、240 D、320

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13、函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 ln x$ 的单调递减区间是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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14、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{5} = 5$ ， $a_{3} + 2 a_{4} = 8$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、15 B、21 C、28 D、36

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15、若函数 $f (x) = 2^{x} + cos 3 x$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x ln 2} + 3 sin 3 x$ B、 $f^{'} (x) = 2^{x} ln 2 + sin 3 x$ C、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x ln 2} - 3 sin 3 x$ D、 $f^{'} (x) = 2^{x} ln 2 - 3 sin 3 x$

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16、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n (n - 1)$ ，则110是该数列的第（）项

A、10 B、11 C、12 D、13

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17、进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数 $m$ 在三进制下的表示为 $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0 (3)}$ ，则 $m = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot 3^{i}$ ，其中 $a_{l} \in {0, 1, 2}, a_{n} \neq 0$ ，例如十进制数 $19 = 2 \times 3^{2} + 0 \times 3^{1} + 3^{0}$ ，所以19在三进制下可写为 $201_{(3)}$ .

(1)、设正整数 $m$ 在三进制下的各位数字之和 $S (m) = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ；
（i）将满足 $S (m) = 3$ 的正整数 $m$ 从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明： $S (3 m + 2) = S (9 m + 4)$ ；

(2)、已知正整数 $m \leq 80$ ，设正项数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $4 T_{n}^{2} - b_{n}^{2} + 2 m \cdot b_{n} - m^{2} = 0$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{\infty} ([b_{i} + \frac{1}{3}] + [b_{i} + \frac{2}{3}]) = m$ （其中[x]表示不大于 $x$ 的最大整数）.

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18、已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象 $T_{0}$ 是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线 $T_{0}$ 绕原点顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ ，得到曲线 $T$ ，设曲线 $T$ 的左顶点为 $A$ .

(1)、求 $A$ 的坐标及曲线 $T$ 的标准方程；

(2)、若B，C为曲线 $T$ 右支上不同两点， $D$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $E$ 为 $D$ 关于原点的对称点，证明：
（i）点 $D$ 在曲线 $T$ 上；
（ii）A，B，C，E四点共圆.

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19、设a为非负实数，函数 $f (x) = \tan x - a \sin x - 2 x, x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) + b \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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20、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = A D = 1$ ， $B C = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ .

(1)、求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值；

(2)、已知 $E$ ， $F$ 分别为线段 $P B$ ， $P C$ 上的动点，是否存在这样的点 $E$ ， $F$ ，使得 $A$ ， $E$ ， $F$ ， $D$ 四点共面、且该平面与平面 $P B C$ 垂直？若存在，请确定点 $E$ ， $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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