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相关试卷

1、已知双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ．

(1)、若直线l与双曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点坐标为 $(3, 3)$ ，求直线l的方程；

(2)、若P为双曲线C右支上异于右顶点的一个动点，F为双曲线C的右焦点，x轴上是否存在定点 $M (t, 0) (t < 0)$ ，使得 $∠ P F M = 2 ∠ P M F$ ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，且 $A_{1} A ⊥ B C$ ．

(1)、求证： $A_{1} B = A_{1} C$ ；

(2)、若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积为 $4 \sqrt{3}, A_{1} A = 2$ ，求直线 $A C_{1}$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值．

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3、为减少环境污染，保护生态环境，某校进行了“垃圾分类知识普及活动”，并对高一、高二全体学生进行了相关知识测试．现从高一、高二各随机抽取了20名学生，对他们的成绩（百分制）进行了整理和分析后得到如下信息：
高一年级成绩分布表
成绩
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
$[90, 100]$
人数
1
2
3
4
10
高二年级成绩频率分布直方图

(1)、从高一和高二样本中各抽取一人，求这两人成绩都不低于90分的概率；

(2)、用频率估计概率，分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取两人，随机变量 $X$ 表示这三人中成绩不低于90分的人数，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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4、已知棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，在其内部放入两个相外切的球 $O_{1}$ 和球 $O_{2}$ （可与正方体表面相切），半径分别为 $r_{1}, r_{2}$ ，则 $r_{1} + r_{2}$ 的最大值为．

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $\frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{\cos A} = 2, b + c = 2 a \cos B + 2 a \cos C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为．

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6、椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 、 $F_{2} (1, 0)$ ，以 $F_{2}$ 为圆心作一个圆，使此圆过椭圆中心并交椭圆于 $M$ 、 $N$ 两点，若直线 $M F_{1}$ 与圆 $F_{2}$ 相切，则 $a =$ ．

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7、函数 $f (x) = a x^{2} + \frac{b}{x} (a b \neq 0)$ 的图象被称为牛顿三叉戟曲线，以下图象可能为函数 $f (x)$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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8、某次测验中，高三（1）班m位同学参加考试，平均分为 $\bar{x_{1}}$ ，方差为 $S_{1}^{2}$ ，高三（2）班n位同学参加考试，平均分为 $\bar{x_{2}}$ ，方差为 $S_{2}^{2}$ ，两个班总的平均分为 $\bar{x}$ ，方差为 $S^{2}$ ，则下列说法一定正确的是（）

A、若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则 $\bar{x} = \frac{1}{2} (\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}})$ B、若 $m = n$ ，则 $\bar{x} = \frac{1}{2} (\bar{x_{1}} + \bar{x_{2}})$ C、若 $\bar{x_{1}} = \bar{x_{2}}$ ，则 $S^{2} \geq \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2})$ D、若 $m = n$ ，则 $S^{2} \geq \frac{1}{2} (S_{1}^{2} + S_{2}^{2})$

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9、在 ${(1 - 2 x)}^{2 n} (n \in N^{*})$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、展开式共 $2 n + 2$ 项 B、各项系数的和为1 C、 $x^{2 n - 2}$ 项的系数为 $(2 n^{2} - 2) 4^{n - 1}$ D、二项式系数最大的项为第 $n + 1$ 项

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10、一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为 $x_{1}, x_{2}$ ，事件A： $x_{1} = 3$ ，事件B： $x_{2} = 6$ ，事件C： $x_{1} + x_{2} = 9$ ，则（）

A、A，B互斥 B、 $A \cup B = C$ C、 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ D、A，B，C两两独立

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11、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，若A，B，C是直线 $y = m (m > 0)$ 与函数 $f (x)$ 图象的从左至右相邻的三个交点，且 $|A B| = \frac{1}{3} |B C|$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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12、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M, N$ 为 $C$ 上的不同两点，若线段 $M N$ 的中点到 $y$ 轴的距离为2，则 $|M F| \cdot |N F|$ 的最大值为（）

A、3 B、6 C、9 D、36

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13、已知奇函数 $f (x)$ 和偶函数 $g (x)$ 的定义域均为 $R$ ，且满足 $g (x) = f (x) + e^{- x}$ ，则 ${[f (x)]}^{2} + {[g (x)]}^{2} =$ （）

A、1 B、 $- 1$ C、 $f (2 x)$ D、 $g (2 x)$

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14、设 $\tan α, \tan β$ 是方程 $x^{2} + p x + p - 1 = 0 (p > 1)$ 的两根，则 $\frac{\sin (α + β)}{\sin α \sin β} =$ （）

A、p B、 $- p$ C、 $\frac{p}{p - 1}$ D、 $\frac{p}{1 - p}$

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15、某校新建一个报告厅，要求容纳840个座位，报告厅共有21排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位，则第1排应安排的座位数为（）

A、18 B、19 C、20 D、21

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16、已知 $(1 + i) z = 1 + i^{3}$ ，则 $z - \bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、0 D、 $- 2$

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17、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 不共线， $λ \vec{a} + \vec{b}$ 与 $3 \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线，则实数 $λ$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、6 D、 $- \frac{2}{3}$

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18、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ， $\forall x \in D$ 都有 $f (m - x) + f (m + x) = 2 n$ ，则称函数 $f (x)$ 为中心对称函数，其中 $(m, n)$ 为函数 $f (x)$ 的对称中心．

(1)、已知定义R上的函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 中心对称，且当 $x \geq 2$ 时， $f (x) = x^{2}$ ，求 $f (0)$ ， $f (1)$ 的值；

(2)、探究函数 $g (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2}$ 是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．

(3)、运用第（2）问的结论，求 $S (k) = g (- 2 k + 1) + g (- 2 k + 3) \dots + g (- 3) + g (- 1) + g (1) + g (3) + g (5)$ $+ \dots + g (2 k - 1) + g (2 k + 1)$ 的值，其中 $k \in N_{+}$ ．

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19、已知 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c cos A + \sqrt{3} c sin A - b - a = 0$ ．

(1)、求 $C$ 的大小；

(2)、若 $A B = B C = 2$ ，在 $△ A B C$ 的边 $A C$ 和 $B C$ 上分别取点 $D$ ， $E$ ，将 $△ C D E$ 沿线段 $D E$ 折叠到平面 $A B E$ 后，顶点 $C$ 恰好落在边 $A B$ 上（设为点 $P$ ）．设 $P B = n$ ， $C E = m$ ，回答以下问题：
（ⅰ）当 $n = \frac{2}{3}$ 时，求 $m$ 的长度；
（ⅱ）当 $m$ 取最小值时，求 $△ P B E$ 的面积．

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20、在花市志愿者选拔的面试结果中，随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)、已知在上述分组中用分层随机抽样的方法从第四组和第五组中共选取了5人，若从这5人中用简单随机抽样的方法选取2人，求这两名候选者来自不同组的概率；

(2)、若前三组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为64和64，后两组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为82和16，根据上述信息估计此次选拔所有候选者的面试成绩的平均数和方差．

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成绩	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	$[90, 100]$
人数	1	2	3	4	10