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相关试卷

1、对于函数 $f (x) = 2 sin (ω x + \frac{π}{6}) + 1$ （ $ω > 0$ ），下列说法正确的是（）

A、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})$ 上有且只有一个零点 B、若函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0, \frac{1}{2}]$ C、若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 时取最小值，在 $x = x_{2}$ 时取最大值，且 ${|x_{1} - x_{2}|}_{\min} = \frac{π}{2}$ ，则 $f (\frac{5 π}{6} - x) + f (x) = 0$ D、将函数 $f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位得到 $g (x)$ 的图象，若 $g (x)$ 为偶函数，则 $ω$ 的最小值为2

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2、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{6} = 8 a_{3}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $\frac{S_{6}}{S_{3}} = 9$ C、 $S_{3}$ ， $S_{6}$ ， $S_{9}$ 成等比数列 D、 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{1}$

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3、“ $- \sqrt{2} < b < \sqrt{2}$ ”是“圆 $C : x^{2} + y^{2} = 9$ 上有四个不同的点到直线 $l : y = x - b$ 的距离等于1”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、设 $P (a, b)$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点，过点 $P$ 分别向 $x, y$ 轴作垂线，垂足分别为 $M, N$ ，则矩形 $P M O N$ 面积的最大值为（）

A、9 B、 $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$ C、 $9 \sqrt{2}$ D、18

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5、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $|F_{1} F_{2}| = 2 \sqrt{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.

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6、单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A，B，C，D四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）.

(1)、有一道单项选择题考生甲不会做，他随机选择一个选项，求猜对本题并得5分的概率；

(2)、有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率；

(3)、现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为 $\frac{1}{4}$ ，得3分的概率为 $\frac{1}{2}$ ；考生丁得6分的概率为 $\frac{1}{6}$ ，得3分的概率为 $\frac{1}{3}$ .丙、丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率.

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7、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ， $E$ 为线段 $P B$ 的中点， $F$ 为线段 $B C$ 上的动点.

(1)、若 $B C ⊥ A B$ ，平面 $A E F$ 与平面 $P B C$ 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.

(2)、若底面 $A B C D$ 为正方形，当平面 $A E F$ 与平面 $P C D$ 夹角为 $\frac{π}{6}$ 时，求 $\frac{B F}{B C}$ 的值.

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8、已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是各项都为正数的等比数列.且 $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = 1$ ， $a_{3} + b_{2} = 8$ ， $a_{2} = b_{3}$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} \cdot b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、若 $c_{n} = \{\begin{cases} a_{n} ， n 为奇数 \\ b_{n} ， n 为偶数 \end{cases}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前2n项和 $S_{2 n}$ .

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9、从集合 $M = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ 中取两个不同的数分别作为对数的底数与真数，则不同的对数值的个数为．

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10、定理：如果函数 $f (x)$ 及 $g (x)$ 满足：①图象在闭区间 $[a, b]$ 上连续不断；②在开区间 $(a, b)$ 内可导；③对 $\forall x \in (a, b), g^{'} (x) \neq 0$ ，那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $c$ ，满足 $\frac{f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} = \frac{f^{'} (c)}{g^{'} (c)}$ 成立，该定理称为柯西中值定理.请利用该定理解决下面问题：已知 $f (x) = \frac{x^{2}}{e^{x}}$ ，若存在正数 $a, b (a \neq b)$ ，满足 $f (b) = λ \ln \frac{b}{a} +$ $f (a)$ ，则实数 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{32}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ B、 $[- \frac{8}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$ C、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{1}{e}]$ D、 $[- \frac{4}{e^{4}}, \frac{2}{e}]$

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11、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{3}), ω > 0$ ，下列说法正确的是（）

A、若函数周期为4，则 $ω = \frac{1}{2}$ B、当 $ω = 2$ 时，函数的对称轴为 $x = \frac{π}{3} + k π, k \in Z$ C、若函数在 $(0, \frac{π}{3})$ 单调，则 $ω$ 有最大值2 D、若函数 $y = \sin x$ 可以由 $f (x)$ 先向右平移 $\frac{π}{9}$ 个单位长度，再横坐标变为原来的3倍得到，则 $ω = \frac{1}{3}$

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12、“ $a \geq 0$ ”是“函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ 2^{x} + a, x \leq 0 \end{array}$ 有且只有一个零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知 $l_{1} : x + (1 + a) y + a - 2 = 0, l_{2} : 2 a x + 4 y + 16 = 0$ ，若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则a的值为（）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $- 2$ C、1 D、 $- 2$ 或1

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14、已知复数 $z = \frac{1 + i}{3 - i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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15、如图，扇形钢板 $P O Q$ 的半径为 $1 m$ ，圆心角为 $\frac{π}{3}$ ，现要从中截取一块四边形钢板 $A B C O$ ，其中顶点 $B$ 在扇形 $P O Q$ 的弧 $P Q$ 上， $A ， C$ 分别在半径 $O P ， O Q$ 上，且 $A B ⊥ O P ， B C ⊥ O Q$ ．

(1)、设 $∠ A O B = θ$ ，试用 $θ$ 表示截取的四边形钢板的面积 $S (θ)$ ，并指出 $θ$ 的取值范围；

(2)、求当 $θ$ 为何值时，截取的四边形钢板 $A B C O$ 的面积最大，并求出最大值．

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16、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x - \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x (x \in R)$ .
（1）求 $f (\frac{π}{3})$ 的值；
（2）求 $f (x)$ 的最小正周期及单调递增区间.

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17、已知 $cos (α - \frac{β}{2}) = - \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $sin (\frac{α}{2} - β) = \frac{1}{2}$ ， $\frac{π}{2} < α < π$ ， $0 < β < \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $cos \frac{α + β}{2}$ 的值；

(2)、求 $tan (α + β)$ 的值.

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18、已知 $\overset{⃑}{a}$ ､ $\overset{⃑}{b}$ 均为单位向量，若 $|\overset{⃑}{a} - 2 \overset{⃑}{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $\overset{⃑}{a}$ 与 $\overset{⃑}{b}$ 的夹角为.

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19、为了得到函数 $y = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，可以将函数 $y = \cos 2 x$ 的图象（）

A、右移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位 B、左移 $\frac{7 π}{12}$ 个单位 C、右移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 D、左移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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20、已知 $△ A B C$ 的重心为点P，若 $\sqrt{3} \sin A \cdot \overset{⃑}{P A} + \sqrt{3} \sin B \cdot \overset{⃑}{P B} + \sin C \cdot \overset{⃑}{P C} = \vec{0}$ ，则角B为（）

A、 $\frac{5 π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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