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相关试卷

1、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B = \sqrt{2}, B C = \sqrt{3}, A C ⊥ C D$ ，且 $A C = C D$ .

(1)、若 $cos ∠ B A C = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ ，求 $A C$ ；

(2)、求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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2、已知 $△ A B C$ 的顶点 $B (1, 2)$ ，边 $B C$ 的中线 $A P$ 所在直线方程为 $x + 2 y - 2 = 0$ ，边 $A B$ 上的高 $C H$ 所在直线方程为 $x - y - 1 = 0$ ．

(1)、求A的坐标；

(2)、求点A到直线 $B C$ 的距离．

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3、已知向量 $\vec{a} = (m, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ .

(1)、若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ 2 \vec{b}$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{c} = (4, 2)$ ， $\vec{a} / / \vec{c}$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 夹角的余弦值.

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4、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ （包括边界）上一动点， $E$ 是棱 $C D$ 上一点，若 $∠ A P B = ∠ D P E$ ，且 $△ A P B$ 的面积是 $△ D P E$ 面积的9倍，则三棱锥 $P - A B E$ 体积的最大值是．

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5、已知在 $Δ A B C$ 所在的平面内有一点 $P$ ，满足 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{A B}$ ，则 $Δ P B C$ 与 $Δ A B C$ 的面积之比是．

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边为 $a$ ， $b$ ， $c$ .若 $A = \frac{π}{4}$ ， $a = 2$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的面积为.

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7、已知四棱锥 $P - A B C D$ 的高为2，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = P B$ ，则（）

A、 $△ P A D$ 的面积为定值 B、 $∠ A P D = ∠ B P C$ C、四棱锥 $P - A B C D$ 表面积的最小值为 $3 \sqrt{5} + 4$ D、若四棱锥 $P - A B C D$ 存在内切球，则该球半径为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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8、动直线 $l_{1} : x + k y - k = 0$ 与动直线 $l_{2} : k x - y + 2 k - 1 = 0$ 相交于点 $C (a, b)$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线 $l_{2}$ 过的定点是 $(- 2, - 1)$ B、点C的轨迹是一个完整的圆 C、 $\frac{3 a + b - 3}{a - 1}$ 的最小值为2 D、 $|a - b + 3|$ 的取值范围为 $(0, 4]$

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9、关于复数 $z = 4 + 3 i$ ，下列说法正确的是（）

A、 $z + \bar{z} = 8$ B、 $z$ 是方程 $x^{2} - 8 x + 25 = 0$ 的一个根 C、若复数 $z$ 满足 $ω^{2} = z$ ，则 $ω = 2 + i$ D、若 $|z_{1} - z| = 2$ ，则 $|z_{1}| \in [3, 7]$

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10、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} - \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ， $(\vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、4

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11、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，若 $P$ 在 $△ A B C$ 内（包括边界）运动，则直线 $D _{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值的取值范围为（）

A、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{6}}{4}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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12、如图所示，矩形 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置一个平面图形的直观图，其中 $O^{'} A^{'} = 6, O^{'} C^{'} = 2$ ，则原图形的面积为（）

A、12 B、 $12 \sqrt{2}$ C、24 D、 $24 \sqrt{2}$

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13、若复数 $z = - 1 - 2 i$ ，则 $z$ 的虚部是（）

A、 $- 1$ B、 $- 2$ C、 $2 i$ D、 $- 2 i$

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14、已知 $x > 0, y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{2}{y}$ 的最小值为.

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15、已知点 $(2, \frac{1}{2})$ 在幂函数 $f (x) = x^{b}$ 的图象上，则下列叙述正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是奇函数 B、函数 $f (x)$ 是偶函数 C、 $f (4) = \frac{1}{4}$ D、函数 $f (x)$ 在定义域内是减函数

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16、“ $a^{2} > b^{2}$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知函数 $f (x) = sin x - \frac{1}{2} sin 2 x$ ．

(1)、求 $f (x)$ 在 $(0, π)$ 上的最大值；

(2)、求证： $\forall x \in [0, + \infty ）， f (x) \leq \frac{1}{2} x^{3}$ 恒成立；

(3)、若 $\forall x \in (0, \frac{π}{2})$ 都有 $f (x) > a x^{3} cos x$ 恒成立，求 $a$ 的最大值．

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18、已知曲线 $C$ 上的动点 $M$ 满足 $|M F_{2}| - |M F_{1}| = 4$ ，且 $F_{1} (- \sqrt{5}, 0), F_{2} (\sqrt{5}, 0)$ ，

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $A (- 2, 0)$ ， $B (2, 0)$ ， $P$ 为 $C$ 上的动点（点 $P$ 与 $A$ 不重合），直线 $B P$ 和直线 $x = - 1$ 交于点 $N$ ，直线 $N A$ 交 $C$ 于点 $Q$ ．
（i）求证：直线 $P Q$ 过定点；
（ii）设直线 $P Q$ 的倾斜角为 $θ$ ， $△ A P Q, △ A P B$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}$ ，当 $θ \in [\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}]$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面是直角梯形 $A B C D, A B ∥ D C$ ， $∠ A D C = 90^{\circ}, A B = 2, C D = 1, A D = \sqrt{3}, A E = \sqrt{6}, △ B C E$ 为正三角形，且平面 $B C E ⊥$ 平面 $A B C D$ ．

(1)、求证： $B C ⊥ A E$ ；

(2)、求直线 $A B$ 和平面 $A D E$ 所成角的正弦值；

(3)、设点 $P$ 是三棱锥 $E - A B C$ 外接球上一点，求点 $P$ 到平面 $A D E$ 距离的最大值．

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20、随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 18)$ ，其中 $x_{i}$ 和 $y_{i}$ 分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得 $\sum_{i = 1}^{18} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 66$ ， $\sum_{i = 1}^{18} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 7500, \sum_{i = 1}^{18} x_{i} y_{i} = 950, 18 \bar{x} \cdot \bar{y} = 270$ .

(1)、求样本 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1 ， 2 ， \dots ， 18)$ 的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额 $y$ （单位：万元）和月份编号 $x$ 是否线性相关（当 $|r| \geq 0.75$ 时，即可认为线性相关）；

(2)、已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列．
附：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}, \sqrt{22} \approx 4.7$ ．

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