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相关试卷

1、已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（）

A、存在点P，使得 $|A P| + |P M| = 4$ B、存在唯一点P，使得 $A P ⊥ P M$ C、当 $A M ⊥ B P$ ，此时点P的轨迹长度为 $\sqrt{2}$ D、当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为 $\frac{9 π}{2}$

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2、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 3, 3)$ ， $\vec{b} = (3, - 1, x)$ ，下列说法正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x = - 3$ B、若 $x = - 2$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{14} \vec{b}$ C、若 $|\vec{b}| = \sqrt{14}$ ，则 $x = 2$ D、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角，则 $x \in (3, + \infty)$

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3、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，直线 $y = \sqrt{3} x$ 与 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，且 $A F ⊥ B F$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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4、直线 $y = x + b$ 与曲线 $x = \sqrt{4 - y^{2}}$ 恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）

A、 $[- 2, 2 \sqrt{2}]$ B、 $(- 2 \sqrt{2}, - 2]$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $[- 2 \sqrt{2}, - 2)$

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5、设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，且 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，则 $a_{2025} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、3

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6、圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的公共弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\sqrt{2}$

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7、据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（）

A、38盏 B、32盏 C、26盏 D、18盏

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8、设函数 $f (x) = x^{2} + a x + b, (a, b \in R)$ .
（1）当 $b = \frac{a^{2}}{4} + 1$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的最小值 $g (a)$ 的表达式；
（2）已知函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上存在零点， $0 \leq b - 2 a \leq 1$ ，求 $b$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{a - x}{1 + x}$ 为奇函数， $g (x) = m \cdot 4^{x} - 2^{x + 2} + 1$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、 $\forall x_{1} \in [0, 1]$ ， $\exists x_{2} \in [0, 1)$ ，使得 $g (x_{1}) = f (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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10、如图，有一个扇环形花圃ABCD，外圆弧的半径是内圆弧半径的两倍，周长为定值2l，圆心角为 $α (0 < α < π)$ ．

(1)、当 $α = 2$ 时，求弧 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点E到弦BC的距离，

(2)、当 $α$ 为多少弧度时，扇环面积最大，并求出最大面积．

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11、已知 $a, b, c \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，则 $\frac{a^{2} + 2 b^{2} + c^{2}}{a b + b c}$ 的取值范围是．

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12、 $\sin (\frac{π}{6} + α) + \cos (\frac{2 π}{3} + α) =$ ．

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13、已知 $\{x |x \neq \frac{k π}{2}, k \in Z\}$ ，则函数 $y = \frac{| \sin x |}{\sin x} + \frac{| \cos x |}{\cos x} - \frac{2 | \sin x \cos x |}{\sin x \cos x}$ 的值可能是（）

A、0 B、 $- 4$ C、4 D、2

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14、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = max \{f (x), y\} + min \{f (y), x\}$ ，其中 $max \{a, b\}$ 表示 $a$ ， $b$ 中最大的数， $min \{a, b\}$ 表示 $a$ ， $b$ 中最小的数.则 $f (16) - f (1) =$ （）

A、14 B、15 C、16 D、17

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15、若 $cos α + 2 sin α = - \sqrt{5}$ ，则 $tan α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、2 C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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16、如果 $\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2}$ ， $0 < m < 1$ ， $a = \log_{m} \sin θ$ ， $b = \log_{m} \cos θ$ ， $c = \log_{m} \tan θ$ ，那么a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < a < b$ C、 $c < b < a$ D、 $b < a < c$

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17、我们把 $y = [x]$ 称为取整函数，表示不超过x的最大整数．则“ $[x] = [y]$ ”是“ $| x - y | < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， $E$ 是 $C D$ 的中点．

(1)、求点 $B$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离；

(2)、若 $F$ 是线段 $B C$ 上的动点（包括端点 $B$ 和 $C$ ），求 $E F$ 与平面 $A D_{1} E$ 的夹角正弦值的最大值；

(3)、若 $F$ 是侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内的动点（包括侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 的边界），且平面 $A D_{1} E$ 与平面 $F D_{1} E$ 垂直，判断 $F$ 点的轨迹，并求出轨迹长度．

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19、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．点M是椭圆C上一点，满足 $| M F_{1} | + | M F_{2} | = 8$ ， O为坐标原点．

(1)、求C的方程；

(2)、设 $T (8, 0)$ ，若C上的一点N与点M不关于x轴对称，且满足 $∠ M T O = ∠ N T O$ ．
（ⅰ）证明：直线MN恒过x轴上的一个点；
（ⅱ）求 $△ M T N$ 面积的取值范围．

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20、如图， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 所在平面垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ C B A = 120^{\circ}$ ， $∠ D B C = 90^{\circ}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ A C$ ；

(2)、求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值．

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