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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \frac{ln x}{x}$ ，则（）

A、 $f (3) > f (5)$ B、 $f (e^{a} + 4) < f (\frac{4 e^{a} + 2}{e^{a} + 1})$ C、 $f (x) - f (\frac{e^{2}}{x}) \geq 0$ D、 $f (x) + f (\frac{1}{x}) \leq 0$

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2、已知 $a > b > 0$ ，则（）

A、 $a b > b^{2}$ B、 $a + b > a b$ C、 $\sqrt{a} - \sqrt{b} > {log}_{2} b - {log}_{2} a$ D、 $\sqrt{1 + a^{2}} - \sqrt{1 + b^{2}} < a - b$

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3、在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到0的概率为 $1 - α$ ；发送1时，收到0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到1的概率为 $1 - β$ ．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（）

A、 $1 - α + β$ B、 $1 + α - β$ C、 $\frac{1}{2} (1 - α + β)$ D、 $\frac{1}{2} (1 + α - β)$

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4、已知 $a > 0, b > 0, a + \frac{1}{b} = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4 b}{a b + 2}$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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5、从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（）

A、48 B、60 C、72 D、100

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6、“ $α > 0$ ”是“函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7、设集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |2^{x} < 8\}$ ，则 $A \cap B$ 的元素个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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8、（1）一个袋子中有30个大小相同的球，其中有10个红球、20个白球，从中随机放回地逐次摸一个球作为样本，5次摸球后停止，用 $X$ 表示停止时摸出红球的次数.
①求 $X$ 的分布列和数学期望；
②若用样本中红球的比例估计总体中红球的比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率.
（2）某节目上，有三扇关闭的门，其中一扇门后面为汽车，另两扇门后面为山羊，节目参加者从这三扇门中选择一扇，然后所选之门后面的物品则归其所有.当参加者选定一扇门后，节目主持人开启了剩余两扇门中后面为山羊的一扇门，并询问节目参加者是否更换选择.问：参加者这时候更换选择会更好吗？请用概率解释.（备注：汽车的价值要远大于羊.）

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9、（1）求函数 $f (x) = x \ln x$ 在区间 $[\frac{1}{3}, 3]$ 上的值域；
（2）设函数 $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - a x - \frac{1}{2} - x \ln x$ .
①求证：当 $a = 0$ 时， $g (x)$ 有唯一零点；
② $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别是 $g (x)$ 的两个不相等的极值点，求证： $x_{1} + x_{2} > a + 2$ .

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10、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 $b = \frac{\sqrt{3}}{3} c \sin A + a \cos C$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $D$ 为边 $B C$ 上一点，满足 $B D = 2 C D$ ，且 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积最大值.

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11、如图，在斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ， $△ A B C$ 是等腰直角三角形， $A C ⊥ B C$ ， $△ A B A_{1}$ 是边长为2的等边三角形.

(1)、求点 $A$ 到平面 $A_{1} B C$ 的距离；

(2)、求二面角 $A - A_{1} B - C$ 的正弦值.

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12、如图， $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $P$ 是抛物线 $C$ 在第一象限上的一点， $∠ O F P = 60 °$ ， $| P F | = 2$ .

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、求抛物线 $C$ 在点 $P$ 处的切线方程.

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13、数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列 $\{α_{k}^{(0)}\}$ 经过 $n$ 次扩充后的新数列记为 $\{α_{k}^{(n)}\}$ ，项数记为 $P_{n}$ ，所有项的和记为 $S_{n}$ .现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列 ${a, b, c}$ 经过一次扩充后得到数列 $\{a_{k}^{(1)}\} = {a, a + b, b, b + c, c}$ ， $P_{1} = 5$ ， $S_{1} = 2 a + 3 b + 2 c$ .已知初始数列 $\{a_{k}^{(0)}\} = {- 3, 1, 3}$ ，则 $P_{n} =$ ； $S_{n} =$ .

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14、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 的坐标为 $(- 1, 1)$ ，点 $Q$ 为圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 2$ 上的动点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为.

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15、已知某趟往返梅州与广州的高铁，沿途共有梅州西、兴宁南、五华、河源东、惠州北、广州等6个站点，则此趟高铁沿途需要准备种不同的车票.

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16、如图，在四棱锥 $E - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为直角梯形， $A D // B C$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = C E = 2$ ， $B C = C D = 1$ ， $M$ 、 $N$ 分别为棱 $D E$ 、 $C E$ 上的动点，设 $\vec{D M} = λ \vec{D E} (0 \leq λ \leq 1)$ ， $\vec{C N} = μ \vec{C E} (0 \leq μ \leq 1)$ ，则（）

A、当 $μ = 0$ 时，存在 $λ$ ，使得 $M N //$ 平面 $A B E$ B、当 $μ = 0$ 时，存在 $λ$ ，使得 $A N ⊥ B M$ C、当 $μ = \frac{1}{2}$ ，且 $A N$ 与 $B M$ 相交时， $λ = \frac{2}{3}$ D、三棱锥 $E - B C D$ 的外接球在底面 $A B C D$ 上的截痕长为 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$

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17、关于函数 $f (x) = \sin x \cdot \sin 3 x$ ，以下结论正确的有（）

A、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形 B、 $f (x)$ 的最大值为1 C、 $f (x)$ 是以 $π$ 为一个周期的周期函数 D、 $f (x)$ 在 $[0, π]$ 上有4个零点

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18、近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（）
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.05
0.01
0.001
$χ_{α}$
3.841
6.635
10.828

A、在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B、在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C、根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D、从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4

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19、已知实数 $a$ 和 $b$ （其中 $b > 1$ ）满足方程： $\frac{1}{e^{a}} + 2 \ln b = a + \frac{1}{b}$ ，则下列不等式成立的是（）

A、 $e^{a} > b^{2}$ B、 $a^{2} > e^{b}$ C、 $a > 2 b$ D、 $a > \ln b$

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20、某个弹簧振子在振动过程中的位移 $y$ （单位：cm）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y = 10 \sin \frac{π}{2} t$ ，则当位移 $y = 6 cm$ 时，弹簧振子的瞬时速度大小为（） $cm / s$ .

A、 $4 π$ B、 $5 π$ C、 $6 π$ D、 $8 π$

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$α$	0.05	0.01	0.001
$χ_{α}$	3.841	6.635	10.828