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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $P$ 在底面的投影 $O$ 落在线段AD上.

(1)、证明： $A P ⊥ B C$ ；

(2)、若 $B C = 8$ ， $P O = 4$ ， $A O = 3$ ， $O D = 2$ ， $M$ 在线段 $A P$ 上，且满足平面 $A M C ⊥$ 平面 $B M C$ ，求直线 $B M$ 与直线 $C P$ 夹角的余弦值.

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2、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $B C = 1$ 且 $b cos C + \sqrt{3} c sin B = 1 + 2 c$ .

(1)、求 $∠ B$ 的大小.

(2)、如图所示， $D$ 为 $△ A B C$ 外一点， $∠ D C B = ∠ B$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $A C = A D$ ，求 $\sin ∠ B C A$ 值.

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3、若 $e^{a x + 1} - x \geq (a x + ln x + 1) (a x - ln x + 1)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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4、已知P是直线 $l : x + y - 2 = 0$ 上的任意一点，若过点P作圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 的两条切线，切点分别记为 $A, B$ ，则劣弧 $A B$ 长度的最小值为.

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5、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2 |\vec{b}|$ ，且向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量是 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为.

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6、设 $a$ 和 $b$ 是两个整数，如果 $a$ 和 $b$ 除以正整数 $m$ 所得的余数相同，则称 $a$ 和 $b$ 对于模 $m$ 同余，记作 $a \equiv b (mod m)$ .（）

A、若公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} \equiv a_{2} (mod q)$ ，则 $S_{n} \equiv a_{n} (mod q)$ B、若公比为 $q$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $S_{n} \equiv a_{n} (mod q)$ ，则 $a_{1} \equiv a_{2} (mod q)$ C、若 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 6$ ， $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，则 $S_{n} \equiv 1 (mod a_{2})$ D、若 $\{a_{n}\}$ 为公差 $d$ 的等差数列， $a_{1}$ ， $d \in N$ ，若 $T_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} a_{i + 1}$ ，则 $\exists n \in N^{*}$ 使 $T_{n} \equiv 0 (mod d^{2})$

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7、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $1$ ，点 $P$ 、 $Q$ 分别在线段 $A_{1} D$ 、 $A C$ 上运动（包括端点），则下列结论正确的是（）

A、正方体被经过 $P$ 、 $Q$ 两点的平面所截，其截面的形状有可能是六边形 B、 $P Q$ 不可能与 $A_{1} D$ 、 $A C$ 都垂直 C、 $P Q$ 有可能与正方体的六个表面所成的角都相等 D、线段 $P Q$ 的中点 $M$ 所围成的区域的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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8、下列说法正确的是（）

A、若随机变量 $X$ 服从正态分布 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 4) = 0.7$ ，则 $P (3 < X < 4) = 0.2$ B、数据5，8，10，12，13的第40百分位数是8 C、在一元线性回归模型中，若决定系数 $R^{2} = 1$ ，则残差的平方和为0 D、 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 和 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 的方差分别为 $S_{1}^{2}$ 和 $S_{2}^{2}$ ，若 $x_{i} + y_{i} = 10$ 且 $x_{i} < y_{i} (i = 1, 2, 3, 4)$ ，则 $S_{1}^{2} < S_{2}^{2}$

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9、有6张卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，且背面均写有数字7.先把这些卡片正面朝上排成一排.规定一次试验：掷一颗均匀的骰子一次，若点数为 $n$ ，则将向上数字为 $n$ 的卡片翻面并放置原处；若没有向上数字为 $n$ 的卡片，则卡片不作翻动.进行上述试验3次，发现卡片朝上的数字之和为偶数，在这一条件下，骰子恰有一次点数为2的概率为（）

A、 $\frac{13}{36}$ B、 $\frac{3}{13}$ C、 $\frac{11}{39}$ D、 $\frac{43}{117}$

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[2, + \infty)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，满足 $f^{'} (x) x ln x + f (x) = x^{2}$ ，且 $f (2) = \frac{2}{ln 2}$ .已知 $a, b$ 均为正数，若 $f (a^{2}) \geq f (b - 1)$ ，则 $a^{2} + \frac{2}{b + 1}$ 的最小值（）

A、 $2 \sqrt{2} - 2$ B、 $\frac{5}{2}$ C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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11、如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}} - \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1$ 有共同的右焦点 $F$ ，这两条曲线在第一、三象限的交点分别为A、B，直线 $A F$ 与双曲线右支的另一个交点为 $C$ ， $△ B F C$ 形成以 $B C$ 为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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12、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、33 B、46 C、49 D、42

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13、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示， $y = f (x)$ 的图象与 $y$ 轴交于点C， $D (5, 0)$ ， $B (2, A)$ ，且 $\vec{B C} \cdot \vec{C D} = 0$ ，则 $f (4) =$ （）

A、4 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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14、下列可以作为方程 $x^{3} + y^{3} = 4 x y$ 的图象的是（）

A、 B、 C、 D、

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15、已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = (3 - i)$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 的模为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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16、已知全集 $U = \{x \in N ∣ x \leq 3\}$ ， $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x \in N ∣ x^{2} - x \leq 2\}$ ，则 $∁_{U} (A \cap B) =$ （）

A、 $\{0, 1, 3\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 3\}$ D、 $\{0, 2, 3\}$

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17、椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为 $B (2, 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2} .$

(1)、求椭圆C的方程及短轴长；

(2)、已知：过定点 $A (2, 3)$ 作直线l交椭圆C于D，E两点，过E作AB的平行线交直线DB于点F，设EF中点为G，直线BG与椭圆的另一点交点为M，若四边形BEMF为平行四边形，求G点坐标．

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18、某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
（1）当 $a = b = 3$ 时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为 $m$ ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为 $n$ ，比较 $m, n$ 的大小关系；
（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记 $X$ 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求 $X$ 的分布列和数学期望；
（3）若 $a = 1$ ，记乙型号电视机销售量的方差为 $s^{2}$ ，根据茎叶图推断 $b$ 为何值时， $s^{2}$ 达到最小值．（只需写出结论）

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19、如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3 A B = 3 B C = 6$ ，点F是 $B B_{1}$ 的中点，点P在 $C C_{1}$ 上，若过FP的平面 $α$ 交 $A A_{1}$ 于E，交 $D D_{1}$ 于Q．

(1)、求证： $E F //$ 平面PBQ；

(2)、若点Q是 $D D_{1}$ 的中点，且 $P C_{1} = 1$ ，求异面直线EP与BQ所成角的余弦值；

(3)、在（2）的条件下，若平面ABCD上有一点H满足 $H A_{1} ⊥$ 平面 $α$ ，求点H的坐标．

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20、在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，且满 $(b - a) (\sin B + \sin A) = c (\sqrt{3} \sin B - \sin C)$ .
（1）求 $A$ 的大小；
（2）再在① $a = 2$ ， ② $B = \frac{π}{4}$ ， ③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中，选出两个使 $△ A B C$ 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求 $△ A B C$ 的面积.

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