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相关试卷

1、如图，在圆锥 $P O$ 中，底面圆 $O$ 的直径 $A B = 12$ ，母线 $A P = 3 \sqrt{13}$ ，若点 $C$ 是 $\overset{⌢}{A B}$ 上靠近点 $B$ 的三等分点， $D$ 为 $A C$ 的中点．

(1)、证明： $B C //$ 平面 $P O D$ ；

(2)、求平面 $P O D$ 与平面 $P B C$ 所成夹角的余弦值．

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2、已知函数 $f (x) = a x + \ln x - 1$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 2$ 时，求函数 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性．

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3、已知 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \dots + a_{n} x^{n}$ ，它的二项式系数之和为64．

(1)、求n的值；

(2)、求 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ 的值．

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4、罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步．罗马数字的表示法如表：
数字
1
2
3
4
5
6
7
8
9
形式
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
Ⅵ
Ⅶ
Ⅷ
Ⅸ
其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”各需要2根火柴，若为0，则用空位表示（如123表示为， 405表示为）．如果把5根火柴以适当的方式全部放入的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为．

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5、若函数 $f (x) = \sin 2 x$ ，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f (3 x) - f (0)}{x} =$ ．

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6、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{a} - 3 \vec{b}| =$ ．

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7、已知函数 $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的图象有且仅有一个交点 B、函数 $y = g (f (x))$ 在其定义域上单调递增 C、若方程 $f (x) - g (x) = k$ 有实数根，则 $k \geq 0$ D、 $f (2025) < \sum_{n = 1}^{2024} \frac{1}{n} (n \in N^{*})$

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8、北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波、唐胜杰、江新林）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏）入驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排，则下列说法正确的是（）

A、若要求神舟十七号乘组3名航天员相邻，则这6名航天员共有144种不同的排法 B、若要求两个乘组航天员相间排列，则这6名航天员共有96种排法 C、若要求神舟十七号乘组3名航天员互不相邻，则这6名航天员共有144种排法 D、若要求航天员叶光富不在排头也不在排尾，则这6名航天员共有480种排法

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9、已知公差为 $1$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 成等比数列，则（）

A、 $a_{9} = 10$ B、 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{n (n + 2)}{2}$ C、 $\{{(- 1)}^{n} a_{n}\}$ 的前100项和为100 D、 $\{\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}\}$ 的前10项和为 $\frac{5}{12}$

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10、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数， $f (- 3) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $x f^{'} (x) - f (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3, 0) \cup (3, + \infty)$ B、 $(- 3, 0) \cup (0, 3)$ C、 $(- \infty, - 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 3) \cup (0, 3)$

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11、化简 $C_{n}^{n - 1} + 2 C_{n}^{n - 2} + 4 C_{n}^{n - 3} + \dots + 2^{n - 1} C_{n}^{0}$ ，其结果等于（）

A、 $\frac{3^{n} - 1}{2}$ B、 $\frac{3^{n} - 2}{2}$ C、 $\frac{2^{n} - 1}{3}$ D、 $\frac{2^{n} - 2}{3}$

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12、定义域为 $R$ 的可导函数 $f (x)$ ，其导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是一个偶函数 B、在区间 $(x_{1}, x_{2})$ 内，函数 $f (x)$ 的单调性为先减再增 C、函数 $f (x)$ 至少有五个零点 D、函数 $f (x)$ 有两个极大值

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13、与椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有公共焦点，且离心率 $e = \frac{4}{3}$ 的双曲线方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{7} = 1$

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14、 ${(\frac{1}{\sqrt{x}} - x^{2})}^{5}$ 的展开式中为常数项的是（）

A、第1项 B、第2项 C、第3项 D、第4项

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15、2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（）

A、前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B、上映前十天的票房极差为4.76（亿） C、上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D、上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）

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16、已知角 $α$ 的终边经过点 $(- 4, 3)$ ，则 $\cos (α + π) =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $- \frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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17、已知集合 $A = \{x \in N| x^{2} - 4 x + 3 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x| 2 \leq x \leq 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $[1, 3]$ D、 $[2, 3]$

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18、新高考数学试卷出现多项选择题，每小题的四个选项中，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.若正确答案为两项，每对一项得3分；若正确答案为三项，每对一项得2分；

(1)、学生甲在作答某题时，对四个选项作出正确判断、判断不了（不选）和错误判断的概率如下表：
选项
作出正确判断
判断不了（不选）
作出错误判断
A
0.8
0.1
0.1
B
0.7
0.1
0.2
C
0.6
0.3
0.1
D
0.5
0.3
0.2
若此题的正确选项为AC.求学生甲答此题得分 $X$ 的分布列？

(2)、某数学小组研究发现，多选题正确答案是两个选项的概率为 $p$ ，正确答案是三个选项的概率为 $1 - p$ $(0 < p < 1)$ .现有一道多选题，学生乙完全不会，此时他有两种答题方案：
方案一：随机选一个选项：方案二：随机选两个选项.
（i）若 $p = \frac{1}{2}$ ，且学生乙选择方案一，分别求学生乙本题得0分、得2分的概率？
（ii）以本题得分的数学期望为决策依据， $p$ 的取值在什么范围内唯独选择方案一最好？

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19、已知函数 $f (x) = (x + a) ln x + \frac{1 - a}{a} x - 2 (a > 0)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与直线 $10 y + 3 x + 1 = 0$ 垂直，求 $l$ 的方程；

(2)、证明： $f (x)$ 无极值点．

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20、《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图，已知在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 4, E$ 为 $A A_{1}$ 的中点， $F$ 为 $D D_{1}$ 的中点， $A N = \frac{1}{3} N B$ .

(1)、证明：四棱锥 $N - E F C_{1} B_{1}$ 为阳马；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $N E F$ 的距离.

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选项	作出正确判断	判断不了（不选）	作出错误判断
A	0.8	0.1	0.1
B	0.7	0.1	0.2
C	0.6	0.3	0.1
D	0.5	0.3	0.2

数字	1	2	3	4	5	6	7	8	9
形式	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ	Ⅶ	Ⅷ	Ⅸ