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相关试卷

1、设随机变量 $X$ 的概率分布列为：
X
1
2
3
4
P
$\frac{1}{3}$
m
$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{6}$
则 $P (|X - 2| \leq 1) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{5}{12}$

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2、我们知道，复数可以用 $a + b i (a, b \in R)$ 的形式来表示，与复平面内的点 $Z (a, b)$ 是一一对应的，复数的模 $| z | = | a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ ，即是复平面内的点 $Z (a, b)$ 到坐标原点 $O$ 的距离 $|O Z|$ ．又复数与平面向量 $\vec{O Z} = (a, b)$ 也是一一对应的，所以也可以借助与 $x$ 非负半轴为始边，以向量 $\vec{O Z}$ 所在射线（射线OZ）为终边的角 $θ$ 来刻画 $\vec{O Z}$ 的方向，在此基础上再来认识一下复数的乘除法运算．
如： $z_{1} = 1 + \sqrt{3} i$ ， $|z_{1}| = 2$ ，角 $θ_{1} = \frac{π}{6}$ ； $z_{2} = \sqrt{3} + i$ ， $|z_{2}| = 2$ ，角 $θ_{2} = \frac{π}{3}$ ，由 $z_{1} \cdot z_{2} = (1 + \sqrt{3} i) \times (\sqrt{3} + i) = 4 i$ ．即：复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ ，相当于将复数 $z_{1}$ 伸长了 $|z_{2}|$ 倍，同时逆时针旋转角 $θ_{2}$ 后得到．

(1)、计算 $\frac{a + b i}{i} (a, b \in R)$ ，并从模与角度的变化来解释除法运算的几何意义；

(2)、现将直角坐标平面内任意一点 $P (x, y)$ ，绕坐标原点逆时针旋转 $θ$ 角，并将 $|O P|$ 的长度伸长 $m$ 倍后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ ．请借助以上复数运算的知识，推导点 $P$ 与点 $Q$ 伸缩旋转变换的坐标关系；

(3)、已知反比例函数 $C : y = \frac{1}{x}$ ，现将函数 $C$ 上的点 $P (x, y)$ 都逆时针旋转 $45 °$ 后得到点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 的曲线 $C^{'}$ ，求曲线 $C^{'}$ 上的点 $Q (x^{'}, y^{'})$ 坐标关系式．

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3、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是两个不共线向量， $\vec{A B} = 2 \vec{a} + λ \vec{b}$ ， $\vec{B C} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ．若A，C，D三点共线，则实数 $λ =$ ．

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4、如图，设Ox，Oy是平面内相交成 $60 °$ 角的两条数轴， $\vec{i}$ ， $\vec{j}$ 分别是与 $x$ 轴， $y$ 轴正方向同向的单位向量，若向量 $\vec{O P} = x \vec{i} + y \vec{j}$ ，则把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 在坐标系Oxy中的坐标，即 $\vec{O P} = (x, y)$ ．在坐标系Oxy中，设 $\vec{a} = (x_{1}, y_{1})$ ， $\vec{b} = (x_{2}, y_{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2}}$ C、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 0$ D、若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，对于以下命题，其中正确的是（）

A、等式 $c = a \cos B + b \cos A$ 恒成立 B、若 $A > B$ ，则 $\sin A > \sin B$ C、若 $\sin^{2} A + \sin^{2} B - \sin^{2} C > 0$ ，则 $△ A B C$ 是锐角三角形 D、若 $A = 60 °$ ， $a = 2$ ， $b = \sqrt{6}$ ，则满足条件的三角形有两个

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6、圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，在它们之间的地面上距离 $B$ 约为 $40 m$ 的点 $M$ （B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶 $C$ 的仰角分别是 $45 °$ 和 $60 °$ ，在楼顶 $A$ 处测得塔顶 $C$ 的仰角为 $15 °$ ，则估算索菲亚教堂的高度CD约为（）

A、 $52 m$ B、 $54 m$ C、 $60 m$ D、 $80 m$

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7、在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $∠ A = 60^{\circ}$ ， $\vec{D E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B D} =$ （）

A、 $\frac{10}{3}$ B、3 C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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8、辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图1)出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与中空无盖圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎主体部分的容积与外表面积之比约为（）

A、 $\frac{2}{3} R$ B、 $\frac{7}{12} R$ C、 $\frac{1}{2} R$ D、 $\frac{5}{12} R$

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9、设 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $b \sin A = \sqrt{3} a \cos B$ ．

(1)、求 $B$ 的大小

(2)、若 $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的范围

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10、（1）已知 $(2 x - y + 1) + (y - 2) i = 0$ ，求实数 $x$ 、 $y$ 的值.
（2）设 $z_{1} = 2 + 3 i$ ， $z_{2} = m - i (m \in R)$ ，若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 为实数，求 $m$ 的值.

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11、利用和（差）角公式计算下列各式的值：

(1)、 $\sin 72 ° \cos 42 ° - \cos 72 ° \sin 42 °$ ；

(2)、 $\cos 20 ° \cos 70 ° - \sin 20 ° \sin 70 °$ ；

(3)、 $\frac{1 + \tan 15 °}{1 - \tan 15 °}$

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12、计算：

(1)、 $(- 3 - 4 i) + (2 + i) - (1 - 5 i)$

(2)、 $(\sqrt{3} + \sqrt{2} i) (- \sqrt{3} + \sqrt{2} i)$

(3)、 $\frac{3 + 2 i}{2 - 3 i} -$ $\frac{3 - 2 i}{2 + 3 i}$

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13、已知钝角 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}$ ，且 $A B = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则 $A C =$ ．

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14、若复数 $z = 3 - 4 i + | 3 - 4 i |$ ，则 $| z | =$

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15、已知复数 $z = \frac{2 i}{\sqrt{3} + i}$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2} i$ B、 $| z | = 1$ C、 $z^{3}$ 为纯虚数 D、 $\bar{z}$ 在复平面上对应的点在第四象限．

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16、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 为复数，则下列说法正确的是（）

A、若 $z_{1} \in R$ ，则 $z_{1} = {\bar{z}}_{1}$ B、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1} = z_{2}$ C、若 $z_{1} = z_{2}$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ D、若 $|z_{1} - z_{2}| = |z_{1}|$ ，则 $z_{1} = 0$ 或 $z_{2} = 2 z_{1}$

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17、设复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = - 3 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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18、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B$ 所对的边分别为 $a, b$ .若 $\sqrt{5} b sin A = 2 sin B$ ，则 $a =$ （）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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19、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, - 1)$ ， $\vec{b} = (- 3, 4)$ ，则 $5 \vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(1, - 2)$ C、 $(- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ D、 $(\frac{3}{5}, - \frac{4}{5})$

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20、以下说法正确的是（）
①棱柱的侧面是平行四边形；②长方体是平行六面体；③长方体是直棱柱；④底面是正多边形的棱锥是正棱锥；⑤直四棱柱是长方体；⑥四棱柱、五棱锥都是六面体．

A、①②④⑥ B、②③④⑤ C、①②③⑥ D、①②⑤⑥

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X	1	2	3	4
P	$\frac{1}{3}$	m	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{6}$