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相关试卷

1、已知平面向量 $\vec{a} = (x, 1), \vec{b} = (x - 1, 2 x),$ 若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $| \vec{a} | =$

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2、已知函数 $f (x) = a x - sin x, g (x) = ln (1 + 2 x) - a sin 2 x$ .当 $x \in (0, \frac{π}{2})$ 时， $f (x) > 0$ 恒成立.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证：（i） $g (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在极值点 $x_{1}$ 和零点 $x_{0}$ ；
（ii）对于（i）中的 $x_{1}$ 和 $x_{0}$ ，满足 $x_{1} < x_{0} < 2 x_{1}$ .

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左､右焦点分别是 $F_{1} (- 2 \sqrt{3}, 0), F_{2} (2 \sqrt{3}, 0)$ ，并且经过点 $A (2 \sqrt{3}, 4)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F_{2}$ 的直线交双曲线的右支于 $M, N$ 两点（点 $M$ 在第一象限），过点 $M$ 作直线 $x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的垂线，垂足为 $D$ .
（i）求证：直线 $D N$ 经过定点；
（ii）记 $△ O D N$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的取值范围.

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4、2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球､足球､排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球､足球､排球三类相关知识题量占比分别为 $\frac{3}{10}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}$ .甲同学回答篮球､足球､排球这三类问题中每个题的正确率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{1}{2}$ .

(1)、若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；

(2)、若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得-1分.设该同学回答三题后的总得分为 $X$ 分，求 $X$ 的分布列及数学期望；

(3)、知识竞赛规则：随机从题库中抽取 $2 n$ 道题目，答对题目数不少于 $n$ 道，即可获得奖励.现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在 $n = 4$ 和 $n = 5$ 之中选其一，则他应如何选择？并说明理由.

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5、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 3, A B = 2, D$ 为 $B C$ 的中点，点 $E$ 在棱 $B B_{1}$ 上， $B E = 2 E B_{1}$ .

(1)、证明： $C_{1} E ⊥$ 平面 $A D E$ ；

(2)、求平面 $A E C_{1}$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值.

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{10} = 310, S_{20} = 1220$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n}$ 为数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_{n} > \frac{3}{2} a_{n}$ 的 $n$ 的最小值.

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7、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $△ A B C$ 的面积 $S = \frac{{(b + c)}^{2} - a^{2}}{2}$ ，则 $\frac{2 b + c}{a}$ 的取值范围是．

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8、过点 $M (6, 4)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 8 x$ 相交于 $A, B$ 两点，若 $M$ 恰为 $A B$ 的中点，则线段 $A B$ 的长为.

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9、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1, |\vec{b}| = \sqrt{5}, |\vec{a} - \vec{b}| = 2$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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10、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $B C = 4, C D = 2, B C ⊥ C D$ ，点 $A$ 在平面 $B C D$ 上的射影为点 $H$ ，直线 $A B, A C$ 与平面 $B C D$ 所成的角分别为 $60^{\circ}, 30^{\circ}$ ，则（）

A、点 $H$ 的轨迹长度为 $3 π$ B、 $cos ∠ H C D$ 的取值范围是 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ C、三棱锥 $A - B C D$ 的体积的最小值是 $\sqrt{3}$ D、当 $A H$ 最大时，三棱锥 $A - B C D$ 的外接球的表面积为 $68 π$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的单调递减区间是 $[1, + \infty)$ B、若 $m < \frac{1}{e}$ ，则方程 $f (x) = m$ 有两个不等的实根 C、若点 $P$ 是曲线 $y = f (x)$ 上的动点，则点 $P$ 到直线 $y = x + 2$ 距离的最小值为 $\sqrt{2}$ D、若过点 $A (0, a)$ 可以作曲线 $y = f (x)$ 的三条切线，则 $0 < a < \frac{4}{e^{2}}$

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12、下列说法正确的是（）

A、样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n} (n \geq 5)$ ，去掉其中的一个最小数和一个最大数后，剩余数据的中位数小于原样本的中位数 B、数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots, x_{n}$ 的方差为0，则所有的 $x_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 都相等 C、若随机变量 $X \sim N (0, 2^{2}), Y \sim N (0, 3^{2})$ ，则 $P (|X| \leq 3) > P (|Y| \leq 3)$ D、在线性回归模型中，变量 $x$ 与 $y$ 的一组样本数据对应的点均在直线 $y = 2 x + 1$ 上，则决定系数 $R^{2} = 1 - \frac{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - {\hat{y}}_{i})}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 1$

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13、若实数 $x, y$ 满足 ${log}_{2} x + {log}_{y} 3 = {log}_{2} y + {log}_{x} 2$ ，则下列结论不可能成立的是（）

A、 $1 < x < y^{2}$ B、 $1 < y < x^{2}$ C、 $0 < y^{2} < x < 1$ D、 $0 < y < x^{2} < 1$

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14、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $T$ ，若 $f (T) = \frac{1}{2}$ ，则 $cos (x + 3 φ) + cos (2 x - 6 φ)$ 的最小值为（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{9}{8}$ C、0 D、 $\frac{9}{8}$

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15、已知椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 有相同的焦点 $F_{1}, F_{2}, M$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} M F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，若 $C_{1}$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ ，则 $C_{2}$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{39}}{6}$

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = a, a_{2} = 2 - a, a_{n + 2} = 2 a_{n}$ ，则 $S_{2 n} =$ （）

A、 $2^{n + 1} - 2$ B、 $a (2^{n + 1} - 2)$ C、 $2^{2 n} - 2$ D、 $a (2^{2 n} - 2)$

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17、为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表：
每户每年天然气用量
天然气价格
不超过 $300 m^{3}$
2.98元 $/ m^{3}$
超过 $300 m^{3}$ 但不超过 $480 m^{3}$ 的部分
3.60元 $/ m^{3}$
超过 $480 m^{3}$ 的部分
4.50元 $/ m^{3}$
若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（）

A、 $610 m^{3}$ B、 $600 m^{3}$ C、 $558.7 m^{3}$ D、 $462.7 m^{3}$

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18、已知正三棱台的体积为 $\frac{7 \sqrt{3}}{12}$ ，其上下底面的边长分别为1和2，则这个正三棱台的高为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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19、已知集合 $A = {x ∣ x < 4}, B = {x ∣ 0 < x < 5}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- \infty, 4)$ B、 $(0, + \infty)$ C、 $(0, 4)$ D、 $(- \infty, 5)$

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P D C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ D C$ ， $A B // D C$ ， $A B = \frac{1}{2} C D = A D = 1$ ， $M$ 为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明： $B M //$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P C = \sqrt{5}$ ， $P D = 1$ ，在线段 $P A$ 上是否存在点 $Q$ ，使得点 $Q$ 到平面 $B D M$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{6}}{9}$ ？若存在，求出 $P Q$ 的值；若不存在，说明理由.

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每户每年天然气用量	天然气价格
不超过 $300 m^{3}$	2.98元 $/ m^{3}$
超过 $300 m^{3}$ 但不超过 $480 m^{3}$ 的部分	3.60元 $/ m^{3}$
超过 $480 m^{3}$ 的部分	4.50元 $/ m^{3}$