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相关试卷

1、已知定点 $A (- 2, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，动点 $M$ 满足 $|M A| = 2 |M B|$ .

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过点 $B$ 作两条互相垂直的直线 $l$ 与 $m$ ，直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $E$ ， $F$ 两点，直线 $m$ 交曲线 $C$ 于 $G$ ， $H$ 两点，求四边形 $E G F H$ 面积的最大值.

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2、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面 $A C C_{1} A_{1}$ 为菱形，点 $A_{1}$ 在平面ABC上的投影为AC的中点D，且 $A B = 2$ ．

(1)、求点C到侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 的距离；

(2)、在线段 $A_{1} B_{1}$ 上是否存在点E，使得直线DE与侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{7}$ ？若存在，请求出 $A_{1} E$ 的长；若不存在，请说明理由．

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3、已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, - 1)$ ， $C (3, 2)$ .

(1)、求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.

(2)、求四边形ABCD的面积.

(3)、求 $△ A B C$ 边AB上的高所在直线方程.

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4、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{3}$ ， D是 $B C$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} B / /$ 平面 $A D C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成角的正弦值；

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5、下列说法中，正确的有（）

A、直线 $3 x - y - 2 = 0$ 在y轴上的截距为-2 B、直线 $\sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 的倾斜角为120° C、直线 $m x + y + 3 = 0$ (m∈R)必过定点(0，-3) D、点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7

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6、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $A B$ 上，点 $N$ 在线段 $C C_{1}$ 上，且 $A M = M B, C_{1} N = 2 N C$ ，则 $D B_{1}$ 与 $M N$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{21}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{21}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{21}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{21}$

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7、已知集合 $U = R$ ，集合 $A = \{x| - 2 \leq x \leq 3\}$ ， $B = \{x| x < - 1$ 或 $x > 4\}$

(1)、求 $A \cup B$ ；

(2)、求 $A \cap (∁_{U} B)$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 x + 1, x \leq 1 \\ x^{2} - 3, x > 1 \end{array}$

(1)、求 $f (- 1)$ ， $f (f (\frac{1}{2}))$ ；

(2)、作出函数 $y = f (x)$ 在 $[- 2, 2)$ 区间内的图象.

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9、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$ ．

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10、集合 $\{x |x > 5$ 或 $x < - 1}$ 用区间表示为

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11、下列命题正确的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ D、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$

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12、已知 $M = (a + 2) (a + 3)$ ， $N = a^{2} + 5 a + 4$ 则（）

A、 $M > N$ B、 $M < N$ C、 $M = N$ D、无法确定

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13、下列各组函数是同一个函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = {(\sqrt{x})}^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = |x|$ C、 $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x - 1}$ 与 $g (x) = x - 1$ D、 $f (x) = \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$ 与 $g (x) = \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{x - 1}}$

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14、对于实数 $x$ ， “ $x < 0$ ”是“ $x < 1$ ”的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、命题“ $\exists x > 0, x^{2} + 2 x - 4 \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x > 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$ B、 $\forall x \leq 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$ C、 $\exists x \leq 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$ D、 $\forall x > 0, x^{2} + 2 x - 4 < 0$

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16、设集合 $M = \{2, 3, 4\}$ ， $N = \{3, 4, 5\}$ ，则 $M \cup N$ ＝（　　）

A、 $\{3, 4\}$ B、 $\{2, 3, 4, 5\}$ C、 ${2, 5}$ D、 $\emptyset$

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17、定义：函数 $y = f (x)$ 图象上不同的三点A，B，C，它们的横坐标成等差数列，且该函数在点B处切线的斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数，设 $f (x) = a ln x - x$ ．

(1)、讨论 $y = f (x)$ 的极值；

(2)、若 $y = f (x)$ 是其定义域上的“等差偏移”函数，求a的取值范围；

(3)、当 $a = 1$ 时，数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = f (a_{n}) + \frac{2 a_{n}^{2} + a_{n} + 1}{2 a_{n}}$ ， $a_{1} = \frac{3}{2}$ ，记前n项和为 $S_{n}$ ，试证明： $S_{n} < n + 1$ ．

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18、在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，面积为 $S$ ，满足 $2 S = (b^{2} - a^{2}) sin B$ ．

(1)、求证： $B = 2 A$ ；

(2)、求 $\frac{2 a cos B - 3 b}{2 a}$ 的取值范围．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °, A B = 2, C D = 4$ ， $P A ⊥ P D$ 且 $P A = P D$ ， $M, N$ 分别是 $P D, B C$ 的中点．

(1)、求证： $A D ⊥ P N$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，直线 $P N$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{2}{3}$ ，求二面角 $M - B C - D$ 的余弦值．

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20、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $x$ 轴上方的两点 $A, B$ 分别在双曲线的左右两支上，梯形 $A F_{1} F_{2} B$ 两底边满足 $B F_{2} = 2 A F_{1}$ ，以 $A B$ 为直径的圆过右焦点 $F_{2}$ ，则双曲线的离心率为．

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