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相关试卷

1、已知集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2\}, B = {x ∣ - 1 < x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 1\}$ B、 $\{- 1, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2、将函数 $f (x) = \sin ω x$ （其中 $ω$ >0）的图像向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，所得图像经过点 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ ，则 $ω$ 的最小值是

A、 $\frac{1}{3}$ B、1 C、 $\frac{5}{3}$ D、2

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3、17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，动点 $P (x, y)$ 满足 $|P F_{1} |\cdot| P F_{2}| = 3$ ，动点P的轨迹为曲线E，直线 $y = k x + b$ 与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 $k_{0} .$

(1)、求曲线E的方程；

(2)、求 $|O P|$ 的取值范围；

(3)、求证： $- \frac{3}{5} < k \cdot k_{0} < - \frac{1}{3} .$

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4、已知抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ，直线 $l : x = m y + 3$ 交抛物线 $E$ 于 $A$ ， $B$ 两点.

(1)、求抛物线 $E$ 的方程；

(2)、若 $|A B| = 4 \sqrt{15}$ ，求 $m$ 的值；

(3)、若抛物线 $E$ 上存在两点 $C$ ， $D$ 关于直线 $l$ 对称，求 $m$ 的取值范围.

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5、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A C = 2$ ， $A B = 4$ ， $∠ A B C = \frac{π}{6} .$

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C;$

(2)、若二面角 $A - P B - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求PA的长度.

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6、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ 是偶函数.

(1)、求a的值；

(2)、当 $x \in [- 1, 1]$ 时，函数 $g (x) = f (2 x) - λ f (x)$ 的最小值为 $- 2$ ，求 $λ$ 的值.

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7、设 $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是平面直角坐标系xOy上的两点，O为坐标原点，定义点P到点Q的一种折线距离 $d (P ， Q) = |x_{1} - x_{2} |+| y_{1} - y_{2}| .$ 已知 $P (0 ， 2)$ ， Q是曲线 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1 (x > 0)$ 上一点，则 $d (P ， Q)$ 的最小值为.

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $a$ 的正方形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ .若 $P A = a$ ，则直线 $P B$ 与平面 $P C D$ 所成的角的大小为

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9、直线 $2 \sqrt{3} x + 2 y + 3 = 0$ 的倾斜角为

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为 $B (0, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， M，N为C上关于原点对称的两点(与C的顶点不重合)，则下列说法正确的是（）

A、椭圆C的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ B、 $\frac{1}{| M F_{1} |} + \frac{9}{| N F_{1} |} \geq 5$ C、直线BM与BN的斜率乘积为 $- \frac{1}{4}$ D、 $△ M N F_{2}$ 的面积随周长变大而变大

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11、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y = 0$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} + m x + n y = 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 恒有公共点 B、圆 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 至多有三条公切线 C、若圆 $C_{2}$ 平分圆 $C_{1}$ 的周长，则 $m + 2 n = 10$ D、若圆 $C_{2}$ 平分圆 $C_{1}$ 的周长，则 $n^{2} - m$ 的最小值为9

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12、在空间直角坐标系中，已知点 $A (1, 1, 0)$ ， $B (1, 0, 2)$ ， $C (2, - 1, 5)$ ， $D (1, - 2, 4)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{A B} = (0, - 1, 2)$ B、A，B，C三点共线 C、 $A D ⊥ B C$ D、 $\vec{A C}$ 在 $\vec{B D}$ 上的投影向量为 $(0, - \frac{7}{2}, \frac{7}{2})$

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13、设F是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的右焦点，O为坐标原点，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若 $△ F O H$ 的内切圆的半径 $r = \frac{1}{4} b$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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14、在平面直角坐标系中，点 $E (4 ， 6)$ ，直线 $l : x + y + 1 = 0$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，点P为直线l上一点，点Q为圆C上一点，则 $|E P| + |P Q|$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{7} - 1$ B、 $\sqrt{7}$ C、9 D、10

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15、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ， $A C_{1} = \sqrt{21}$ ， $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = \frac{π}{3}$ ， $∠ B A D = \frac{2 π}{3}$ ，则 $A D =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{3} - 2$

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16、“ $m = - 3$ ”是“直线 $2 x + (m + 1) y - 2 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，则椭圆C的焦距为（）

A、 $2 \sqrt{41}$ B、10 C、3 D、6

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18、已知集合 $A = {x | - 3 < x < 1}$ ， $B = {x | | x | < 2}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 ${x | - 3 < x < 2}$ B、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ C、 ${x | - 2 < x < 1}$ D、 ${- 1, 0}$

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19、定义两种新运算“ $\oplus$ ”与“ $\otimes$ ”，满足如下运算法则：对任意的 $a, b \in R$ ，有 $a \oplus b = a b$ ， $a \otimes b = a^{b} + 1$ .设全集 $U = \{x |x = a \oplus b + a \otimes b, 0 < a \leq b < 3$ 且 $a \in Z, b \in Z\}$ ， $A = \{x |4 (a \oplus b) + \frac{a \otimes b}{b}, 0 < a < b < 3$ 且 $a \in Z, b \in Z\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 3 x + m = 0\}$ .

(1)、求集合 $U$ ；

(2)、求集合 $A$ ；

(3)、集合 $A, B$ 是否能满足 $(∁_{U} A) \cap B = \emptyset$ ？若能，求出实数 $m$ 的取值范围；若不能，请说明理由.

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20、已知 $f (x) = \frac{a x + b}{x^{2} + 1}$ 是定义在 $(- 2, 2)$ 上的函数，且 $f (0) = 0$ ， $f (1) = \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性，并用定义证明；

(3)、求函数 $f (x)$ 在 $[- 1, 1]$ 上的值域.

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