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相关试卷

1、棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $N$ 为 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 在底面 $A B C D$ 内运动， $D_{1} P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $θ_{1}$ ， $N P$ 与平面 $A B C D$ 所成角为 $θ_{2}$ ，若 $θ_{1} = θ_{2}$ ，则 $|A P|$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{8}{3}$ C、4 D、1

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2、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，一组斜率为1的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为（）

A、 $y = \frac{4}{3} x$ B、 $y = - 2 x$ C、 $y = - \frac{3}{4} x$ D、 $y = 2 x$

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3、已知动点 $Q$ 在 $△ A B C$ 所在平面内运动，若对于空间中任意一点 $P$ ，都有 $\vec{P Q} = - 2 \vec{P A} + 4 \vec{P B} + m \vec{C P}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 1$ D、1

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4、已知动点 $M (x, y)$ 满足 $\sqrt{{(x + 2)}^{2} + y^{2}} - \sqrt{{(x - 2)}^{2} + y^{2}} = 4$ ，则动点 $M$ 的轨迹是（）

A、射线 B、直线 C、椭圆 D、双曲线的一支

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5、直线l： $m x - y + 1 = 0$ 与圆C： $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 的位置关系是 $($ 　　 $)$

A、相切 B、相离 C、相交 D、不确定

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6、直线 $y = \sqrt{3} x + 1$ 的倾斜角为（）

A、 $- 60 °$ B、30° C、60° D、120°

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7、已知函数 $f (x) = x^{2} - 2 x |x - a| + 1 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a > 0$ 时，若函数 $f (x)$ 在 $(m, n)$ 上既有最大值又有最小值，且 $n - m \leq |a (b - 1)|$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{x} (x > 0), g (x) = e^{a x} (a \in R)$ ，

(1)、若 $a = - 1$ ，讨论 $F (x) = f (x) \cdot g (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 的单调性；

(2)、若 $a > 0$ ，函数 $G (x) = {[f (x)]}^{4} \cdot ln g (x)$ ，不等式 $a sin x > \frac{x}{6} - \frac{1}{6} G (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、当 $n \in N^{*}, n \geq 2$ 时，求证： $\sum_{k = 2}^{n} k sin \frac{1}{k} > \frac{6 n^{2} - 7 n + 1}{6 n}$ ．

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9、如图，动点 $M$ 到两定点 $A (- 1, 0)$ 、 $B (2, 0)$ 构成 $△ M A B$ ，且 $∠ M B A = 2 ∠ M A B$ ，设动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ．
（1）求轨迹 $C$ 的方程；
（2）设直线 $y = - 2 x + m$ 与 $y$ 轴交于点 $P$ ，与轨迹 $C$ 相交于点 $Q 、 R$ ，且 $|P Q| < |P R|$ ，求 $\frac{|P R|}{|P Q|}$ 的取值范围．

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10、随着芯片技术的不断发展，手机的性能越来越强大，为用户体验带来了极大的提升．某科技公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有“容易”“适中”“困难”三个档次，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是“容易”或者“适中”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}$ ，若上一关的难度是“困难”，则下一关的难度是“容易”“适中”“困难”的概率分别为 $\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，已知第1关的难度为“容易”．

(1)、求第3关的难度为“困难”的概率；

(2)、用 $P_{n}$ 表示第 $n$ 关的难度为“困难”的概率，求 $P_{n}$ ．

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11、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A B = \frac{π}{3}$ ，侧面 $C D D_{1} C_{1} ⊥$ 底面 $A B C D$ .

(1)、求证：平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 和平面 $A_{1} B C_{1}$ 所成角的正弦值.

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12、在 $△ A B C$ 内，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $b cos A - c cos B = (a - c) cos (A + C)$ ．

(1)、求角 $B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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13、设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $a_{1} = 2$ ， $S_{n} - a_{n + 1} + 2 = 0$ .

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；

(2)、设 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，数列 $\{\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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14、在三棱锥 $P - A B C$ 中，底面 $A B C$ 为等腰三角形， $∠ A B C = 120 °$ ，且 $A C = P A$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C, P A ⊥ B C$ ，点 $Q$ 为三棱锥 $P - A B C$ 外接球 $O$ 上一动点，且点 $Q$ 到平面 $P A C$ 的距离的最大值为 $1 + \sqrt{7}$ ，则球 $O$ 的表面积为．

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15、 $e$ 是自然对数的底数， $m \in R$ ， $n > 0$ ，已知 $m e^{m} + \ln n > n \ln n + m$ ，则下列结论一定正确的是（）

A、若 $m > 0$ ，则 $m - n > 0$ B、若 $m > 0$ ， $n > 1$ ，则 $e^{m} - n > 0$ C、若 $m < 0$ ，则 $m + \ln n < 0$ D、若 $m < 0$ ，则 $e^{m} + n > 2$

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $M$ 在 $C$ 上， $M N ⊥ l$ 于 $N$ ，直线 $N F$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{N A} = 2 \vec{A F}$ ，则（）

A、 $∠ M N F = 60^{\circ}$ B、 $|N F| = \frac{4}{3} p$ C、 $|M B| = \sqrt{3} |M N|$ D、 $\sin ∠ N A M = \frac{3 \sqrt{7}}{14}$

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17、一组数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdot \cdot \cdot, x_{10}$ 满足 $x_{i} - x_{i - 1} = 2 (2 \leq i \leq 10)$ ，若去掉 $x_{1}, x_{10}$ 后组成一组新数据.则新数据与原数据相比（）

A、极差变小 B、平均数变大 C、方差变小 D、第25百分位数变小

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18、已知复数 $z = \cos \frac{2 π}{2023} + i \sin \frac{2 π}{2023}$ ，则 $(z - 1) (z^{2} - 1) \dots (z^{2022} - 1) =$ （）

A、2022 B、2023 C、 $- 2022$ D、 $- 2023$

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19、已知A，B，C，D是体积为 $\frac{20 \sqrt{5}}{3} π$ 的球体表面上四点，若 $A B = 4$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ，且三棱锥A－BCD的体积为 $2 \sqrt{3}$ ，则线段CD长度的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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20、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的图象过点 $(0, 1)$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{8}, \frac{π}{4})$ 上具有单调性，则 $ω$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、4 C、 $\frac{16}{3}$ D、8

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