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相关试卷

1、定义符号函数为 $y = sgn (x) = \{\begin{array}{l} 1, x > 0 \\ 0, x = 0 \\ - 1, x < 0 \end{array}$ ，已知 $f (x) = - 2 x + 8 - 4 a, g (x) = x^{2} - 2 a x$ ，令 $h (x) = \frac{sgn (x - 1) - sgn (x - 2)}{2} \cdot f (x) + \frac{sgn (x - 2) - sgn (x - 3)}{2} \cdot g (x)$ ， $x \in (1, 3)$ .

(1)、若函数 $g (x)$ 在区间 $(2, 3)$ 上单调，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = 1$ 时，若函数 $y = h (x)$ 与 $y = k$ 的图象有且仅有一个交点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若 $\forall x_{1} \in (2, 3)$ ， $\exists x_{2} \in (1, 2)$ ，使得 $h (x_{2}) = h (x_{1})$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + 3}$ .

(1)、求实数 $a$ 的值；

(2)、判断 $y = f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上的单调性，并用定义法证明；

(3)、若 $f (1 - m) + f (2 m + 1) > 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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3、已知正实数x，y满足 $x + 3 y = 1$ .

(1)、求 $x y$ 的最大值；

(2)、若不等式 $\frac{x}{3 y} + \frac{1}{x} \leq \frac{m - 2}{m + 2}$ 有解，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、已知集合 $A = {x ∣ - 2 < x \leq 3}$ ， $B = {x ∣ m - 2 \leq x \leq 2 m - 1}$ .

(1)、当 $m = 3$ 时，求 $A \cap B$ ， $A \cup (∁_{R} B)$ ；

(2)、若 $A \cap B = B$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} 3 x - 3, x < 1 \\ f (x - 3), x \geq 1 \end{matrix}$ ，则 $f (4) =$ .

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6、下列说法中正确的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{x^{2}}$ 与 $g (x) = |x|$ 表示同一个函数 B、 $f (x) = x^{2} + 2 |x| - 3$ 为偶函数，且在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增 C、 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{1 - x^{2}}$ 既是奇函数，又是偶函数 D、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $[1, 2]$ ，则函数 $f (x + 1)$ 的定义域为 $[2, 3]$

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7、已知 $a, b, c, d \in R$ ，且 $a > b, c > d > 0$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $a c > b c$ B、 $a c > b d$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $a + 2 c > b + 2 d$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{2} - \frac{2}{3} x + 1, x \leq 0 \\ - x^{2} + 2 x + 1, x > 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 在区间 $(a, b)$ 上既有最大值，又有最小值，则 $b - a$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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9、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且对 $\forall x \in R$ ， $f (x) + x f (- x) = x^{2}$ ，则 $f (3) =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{9}{5}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、2

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10、已知实数 $a > 0$ ，且“ $x^{2} - x - 2 < 0$ ”的一个必要不充分条件是“ $|x| < a$ ”，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[2, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 1)$

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11、已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[1, 3]$ 上单调递增且存在最大值为 $M$ ，则函数 $f (x)$ 在区间 $[- 3, - 1]$ 上（）

A、单调递增且最大值为 $M$ B、单调递增且最小值为 $- M$ C、单调递减且最大值为 $M$ D、单调递减且最小值为 $- M$

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12、函数 $f (x) = \frac{1 - x^{2}}{|x|}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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13、命题“ $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 x > 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \leq 0$ ， $x^{2} - 3 x > 0$ B、 $\exists x > 0$ ， $x^{2} - 3 x \leq 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $x^{2} - 3 x \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $x^{2} - 3 x > 0$

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14、已知集合 $A = \{x ∣ - 2 \leq x^{3} \leq 3\}, B = {- 3, - 1, 0, 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 3}$ B、 ${- 1, 0}$ C、 ${- 1, 0, 2}$ D、 ${- 3, - 1, 0}$

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15、已知空间中三点 $A (0, 1, 0), B (2, 2, 0), C (- 1, 3, 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{A C}| = \sqrt{6}$ B、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 是共线向量 C、 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 夹角的余弦值是1 D、与 $\vec{B C}$ 同向的单位向量是 $(- \frac{3 \sqrt{11}}{11}, \frac{\sqrt{11}}{11}, \frac{\sqrt{11}}{11})$

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $\sqrt{3} x + y = 0$ ，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{6}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，若直线 $l$ 过点 $(0, 2)$ ，与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于A，B两点，且 $△ A O B$ 的面积为 $2 \sqrt{6}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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17、“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用 $2 n - 1 (n \geq 2, n \in N^{*})$ 局 $n$ 胜的单败淘汰制，即先赢下 $n$ 局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ .

(1)、若 $n = 2$ ，设比赛结束时比赛的局数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列与数学期望；

(2)、现有两种赛制：赛制一：采用3局2胜制，赛制二：采用5局3胜制，乙选手要想获胜概率大，应选哪种赛制？并说明理由.

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18、在 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 4 \cos C$ ．且 $\tan B \tan A + \tan B \tan C = \tan A \tan C$ ，则 $\cos A =$ ．

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19、已知点 $A, B, C, D$ 为平面内不同的四点，若 $\vec{B D} = 2 \vec{D A} - 3 \vec{D C}$ ，且 $\vec{A C} = (- 2, 1)$ ，则 $\vec{A B} =$

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20、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + 2 a_{n}$ ，若 $a_{1} = a_{2} \neq 0$ ，则（）

A、 $\{a_{n + 1} - 2 a_{n}\}$ 是等比数列 B、 $\{a_{n + 2} - a_{n}\}$ 是等比数列 C、 $\{S_{n + 1} - 2 S_{n}\}$ 是等差数列 D、 $\{a_{2 n + 1} - S_{2 n}\}$ 是等差数列

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