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相关试卷

1、对于函数 $y = f (x), x \in D$ ，若存在 $x_{0} \in D$ ，使得 $f (x_{0}) = x_{0}$ ，则称 $x_{0}$ 是 $f (x)$ 的一个不动点．已知函数 $f (x) = {log}_{2} [a (4^{x} + 4^{- x}) + 2^{- x} + 1 - 2 a], a \geq 0$ ．

(1)、证明： $f (x)$ 的定义域为 $R$ ；

(2)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上仅有一个不动点，求实数a的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上有两个不动点，求实数a的取值范围．

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2、已知函数 $f (x) = 2 sin ω x sin (ω x + \frac{π}{3}) + cos 2 ω x (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 图像的对称中心；

(2)、设 $g (x) = b (sin x + cos x) - \sin x cos x$ ，若 $\forall x_{1} \in [0, \frac{π}{4}], \exists x_{2} \in [- \frac{π}{6}, 0],$ 使得 $g (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，求实数b的取值范围．

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $[- 2, 2]$ 上的偶函数， $f (\frac{1}{2}) = \sqrt{2}$ ，当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $f (x) = cos (\frac{π x}{2}) + a^{2}$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式： $f (2 x - 1) < f (x - 3)$ ．

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4、为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调研发现：某水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{matrix} 3 (x^{2} + 2), 0 \leq x \leq 2, \\ \frac{36 x}{x + 2}, 2 < x \leq 5, \end{matrix}$ ，肥料成本投入为10x元，其他成本投入为20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销售畅通，记该水果单株利润为 $f (x)$ （单位：元）．

(1)、求单株利润 $f (x)$ （单位：元）关于施用肥料x（单位：千克）的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？

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5、已知不等式 $\frac{2 x - 1}{x + 3} > 1$ 的解集为A，集合 $B = \{x |a - 2 \leq x \leq 2 a + 1\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求A和 $(∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = A$ ，求实数a的取值范围．

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6、将函数 $y = sin x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{2 ω} (ω > 0)$ ，纵坐标不变，得到函数 $f (x)$ 的图象，若 $f (x)$ 在区间 $(π, 2 π)$ 内没有零点，则 $ω$ 的取值范围是．

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7、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $2 a + b = 2$ ，若 $t^{2} - 3 t \leq \frac{a}{b} + \frac{2}{a}$ 恒成立，则实数t的取值范围是．

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8、已知扇形的周长是其半径的4倍，若该扇形的面积为2，则该扇形的周长为．

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9、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数， $f (x - 1) = f (3 - x)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，则（）

A、 $f (x) = f (x + 4)$ B、 $f ({log}_{3} 5) > f ({log}_{5} 8)$ C、当 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = 1 - 2^{x - 2}$ D、方程 $∣ f (x) ∣ - lg x = 0$ 恰有10个解

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10、摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为 $H (t)$ （单位：m），下述结论正确的是（）

A、 $H (t) = - 55 cos \frac{π}{15} t + 65$ B、甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m C、在运行一周的过程中， $H (t) > 90$ 的时间超过10min D、游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等

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11、已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则下列关系式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$ B、 $a + b > 4$ C、 $a b < 4$ D、 $a^{2} + b^{2} > 8$

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} + lg (x + \sqrt{x^{2} + 1})$ ，若 $f (3 cos 2 θ) + f (7 sin θ - 5) > 0$ ，则 $cos 2 θ$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{1}{2})$ B、 $(- 1, \frac{7}{9})$ C、 $(\frac{1}{2}, 1)$ D、 $(\frac{1}{9}, \frac{1}{2})$

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13、已知 $a > 0, b \in R$ ，若关于x的不等式 $(a x - 2) (x^{2} + b x - 6) \geq 0$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则 $4 a - b$ 的最小值是（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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14、已知 $α \in (0,π), β \in (0,π), sin (α + β) = 2 cos (α - β), tan α + tan β = \frac{4}{3}$ ，则 $α + β =$ （）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{5 π}{4}$ D、 $\frac{7 π}{4}$

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15、函数 $f (x) = \frac{2 cos 2 x - 1}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、用二分法求方程 $\sqrt{x} - 3^{- x} = 0$ 的近似解时，所取的第一个区间可以是（）

A、 $(0, \frac{1}{3})$ B、 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2}, \frac{2}{3})$ D、 $(\frac{2}{3}, 1)$

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17、已知角α的终边过点 $(4, - 3)$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{4}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $- \frac{24}{25}$

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18、已知命题“ $\exists x \in R, x^{2} - 4 x - a - 1 < 0$ ”为假命题，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 5)$ B、 $(- 5, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 5]$ D、 $[- 5, + \infty)$

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19、已知 $a \in R$ ，若集合 ${a, - a, 0} = \{c, a^{2}, a\}$ ，则 $a =$ （）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、2

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20、对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ 给出定义：设 $f^{'} (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数， $f^{″} (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的导数，若方程 $f^{″} (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x - \frac{5}{12}$ ，请你根据上面探究结果，计算 $f (\frac{1}{2021}) + f (\frac{2}{2021}) + f (\frac{3}{2021}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2020}{2021}) =$ （）

A、1010 B、2020 C、2023 D、2024

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