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相关试卷

1、如图，在边长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱B₁C₁ ， C₁D₁的中点，P是正方形A₁B₁C₁D₁内的动点，则下列结论正确的是（）

A、若DP∥平面CEF，则点P的轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$ B、若AP= $\sqrt{17}$ ，则点P的轨迹长度为 $2 π$ C、若AP= $\sqrt{17}$ ，则直线AP与平面CEF所成角的正弦值的最小值是 $\frac{2 \sqrt{17}}{17}$ D、若Р是棱A₁B₁的中点，则三棱锥 $P - C E F$ 的外接球的表面积是 $41 π$

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2、若 $a < b < 0$ ，则（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a b > b^{2}$ C、 $a + b > 2 \sqrt{a b}$ D、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$

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3、已知四面体 $A B C D$ 的各个面均为全等的等腰三角形，且 $C A = C B = 2 A B = 4$ .设 $E$ 为空间内一点，且 $A, B, C, D, E$ 五点在同一个球面上，若 $A E = 2 \sqrt{3}$ ，则点 $E$ 的轨迹长度为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $4 π$

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4、已知在四边形 $A B C D$ 中， $A C = 2 B C = 2$ ， $∠ A C B = ∠ A C D = \frac{π}{6}$ ， $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，则 $B D$ 的长为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{21 - 2 \sqrt{3}}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{21 - 6 \sqrt{3}}}{3}$

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5、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + a x - b y = 0 (a > 0)$ 关于直线 $y = - 2 x$ 对称，且过点 $P (0, 4)$ .

(1)、求证：圆 $C$ 与直线 $x + 2 y - 8 = 0$ 相切；

(2)、若直线 $l$ 过点 $(- 3, 4)$ 与圆 $C$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $|A B| = 2$ ，求此时直线 $l$ 的方程.

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6、数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{n + 2} - a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n} (n \in N^{*}), 则 S_{100} =$

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7、几何体结构素描是学习素描最重要的一个阶段.某同学在画“切面圆柱体”（用不平行于圆柱底面的平面去截圆柱，圆柱底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面所在平面与底面成 $45^{\circ}$ 角，则该椭圆的离心率为.

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8、已知点P在双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的右支上， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线的左、右焦点，则下列说法正确的是（）

A、 $|P F_{1}| - |P F_{2}| = 8$ B、离心率 $e = \frac{5}{4}$ C、渐近线方程为 $y = \pm \frac{4}{3} x$ D、点 $F_{2}$ 到渐近线的距离为3

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项是1，其前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若存在实数 $λ$ ，使得关于 $n$ 的不等式 $λ + S_{n} \leq 25 n$ ， $n \in N^{*}$ 有解，求实数 $λ$ 取到最大值时 $n$ 的值.

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10、现有一个抽奖活动，主持人将奖品放在编号为1、2、3的箱子中，甲从中选择了1号箱子，但暂时未打开箱子，主持人此时打开了另一个箱子（主持人知道奖品在哪个箱子，他只打开甲选择之外的一个空箱子）.记 $A_{i} (i = 1, 2, 3)$ 表示第 $i$ 号箱子有奖品， $B_{j} (j = 2, 3)$ 表示主持人打开第 $j$ 号箱子.则下列说法正确的是（）

A、 $P (B_{3} ∣ A_{2}) = \frac{1}{2}$ B、 $P (A_{1} ∣ B_{3}) = \frac{1}{3}$ C、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率增大 D、若再给甲一次选择的机会，则甲换号后中奖概率不变

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11、已知 $△ A B C$ 的外接圆圆心为 $O$ ，且 $2 \vec{A O} = \vec{A B} + \vec{A C}, |O A| = |A B|$ ，则向量 $\vec{B A}$ 在向量 $\vec{B C}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ B、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$

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12、双曲线的另一种定义：动点 $M (x, y)$ 与定点 $F (c, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{a^{2}}{c}$ 的距离的比是常数 $\frac{c}{a} (0 < a < c)$ ，则点 $M$ 的轨迹是一个双曲线.动点 $M$ 与定点 $F (\sqrt{3}, 0)$ 的距离和它与定直线 $l$ ： $x = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 的距离的比是 $\sqrt{3}$ ，则点 $M$ 的轨迹方程为（）

A、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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13、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ ， $B = \{x ∣ x^{2} \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{1, 2, 4\}$ D、 $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

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14、抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为奇数”记为事件 $A$ ， “点数小于5”记为事件 $B$ ， “点数大于5”记为事件 $C$ .下列说法正确的是（）

A、 $A$ 与 $C$ 互斥 B、 $B$ 与 $C$ 对立 C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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15、如图，在梯形 $A B C D$ 中， $∠ B = 45^{\circ}, A B = 3 \sqrt{2}, B C = 6$ ，且 $\vec{A D} = \frac{1}{6} \vec{B C}$ ，若 $M, N$ 是线段 $B C$ 上的动点，且 $|\vec{M N}| = 1$ ，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N}$ 的取值范围为.

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16、已知 $f (x) = x^{2} - (a + 1) x + a$ ．

(1)、若 $f (x) > - \frac{1}{4}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求不等式 $f (x) > 0$ 的解集．

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17、已知实数 $a$ ， $b$ 满足 $a > b$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A、 $a^{2} > b^{2}$ B、 $a^{3} > b^{3}$ C、 $|a| > |b|$ D、 $a^{- 1} > b^{- 1}$

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18、圆 $C_{1} : {(x - 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 3$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 3$ 的位置关系是（）

A、相交 B、外切 C、内切 D、相离

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19、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 6 = 0$ 的圆心和半径分别是（）

A、 $(- 1, - 2)$ ， $11$ B、 $(- 1, 2)$ ， $11$ C、 $(- 1, - 2)$ ， $\sqrt{11}$ D、 $(- 1, 2)$ ， $\sqrt{11}$

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20、已知 $x^{2} \in {1, 0, 2 x}$ ，则关于实数 $x$ 的取值正确的是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、2

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