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相关试卷

1、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 都是复数，下列正确的是（）

A、若 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ ，则 $z_{1} z_{2} \in R$ B、若 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$

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2、记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n + 1}^{2} = a_{n}^{2} + 2 a_{n} + 1$ ，且 $a_{1} = 0$ ，则 $|S_{30}|$ 的最小值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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3、已知某正三棱柱外接球的表面积为 $4 π$ ，则该正三棱柱体积的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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4、已知 $a \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} e^{x} + a, x \leq 0 \\ - ln (x + 1) + a, x > 0 \end{array}$ ，在 $R$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup \{0\}$ C、 $[1, + \infty) \cup \{0\}$ D、 $(1, + \infty) \cup \{0\}$

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5、甲､乙､丙､丁､戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去向老师询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列的情形有（）

A、36种 B、48种 C、54种 D、64种

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6、若 $tan α = 2 tan β, sin (α + β) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{9}$ B、 $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $- \frac{2}{9}$

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (- \sqrt{3}, - 1), \vec{b} = (1, 2)$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{3}$ D、 $- 1$

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8、以 $y = \pm 2 x$ 为渐近线的双曲线可以是（）

A、 $\frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{2} - x^{2} = 1$ D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

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9、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}, B = \{x \in N ∣ 2 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, 2\}$ D、 $\{1, 2\}$

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10、如图，已知 $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点 $G$ 是 $△ A B C$ 内一点.过点 $G$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 交于点 $D$ ，与线段 $A C$ 交于点 $E$ .设 $\vec{A D} = λ \vec{A B}, \vec{A E} = μ \vec{A C}$ ，且 $λ \neq 0, μ \neq 0$ .

(1)、若 $\vec{A G} = \frac{2}{5} \vec{A B} + \frac{1}{5} \vec{A C}$ ，求 $△ G A B$ 的面积 $S_{△ G A B}$ ；

(2)、求 $\vec{G A} \cdot (\vec{G B} + \vec{G C})$ 的最小值；

(3)、若 $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ ，设 $△ A D E$ 的周长为 $c_{1}$ .
（i）求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值；
（ii）设 $t = λ μ$ ，记 $f (t) = \frac{1}{3} c_{1} - t$ ，求 $f (t)$ 的值域.

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11、杭州最高的建筑是杭州世纪中心，也被形象地称为“杭州之门”，作为杭州的新地标，它不仅是城市的一道亮丽风景线，更是杭州发展的重要见证，也是旅游打卡的胜地.某校高一研究性学习小组在老师带领下去测量“杭州之门” $A B$ 的高度，该小组同学在该建筑底部 $B$ 的东南方向上选取两个测量点 $C$ 与 $D$ ，测得 $C D = 347$ 米，在 $C, D$ 两处测得该建筑顶部的仰角分别为 $∠ A C B = α = 60^{\circ}, ∠ A D B = β = 30^{\circ}$ .（已知 $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

(1)、请计算“杭州之门” $A B$ 的高度（保留整数部分）；

(2)、为庆祝某重大节日，在“杭州之门”上 $A$ 到 $E$ 处设计特殊的“灯光秀”以烘托节日气氛.知 $A E = 100$ 米，高 $A B$ 直接取（1）的整数结果，市民在底部 $B$ 的东南方向的 $F$ 处欣赏“灯光秀”（如图），请问当 $B F$ 为多少米时，欣赏“灯光秀”的视角 $θ$ 最大？（结果保留根式）

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12、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为线段 $B C$ 上的点， $A B = 6, A C = 4, A D ⊥ B C, M, N$ 分别为 $A B, A C$ 的中点.

(1)、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A B} + λ \vec{A C}$ ，求 $λ$ 的值；

(2)、若 $\vec{D M} \cdot \vec{D N} = - 3$ ，求 $B C$ 的长度；

(3)、若 $\frac{\vec{D M} \cdot \vec{D B}}{|\vec{D B}|} + \frac{\vec{D N} \cdot \vec{D C}}{|\vec{D C}|} = 3$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的值.

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13、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c, D$ 是 $△ A B C$ 外一点，若 $a = b$ ，且 $\sqrt{3} (a \cos C + c \cos A) = 2 b \sin B$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、若 $D A = 2, D C = 1$ ，求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.

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14、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $(1 + i) \cdot z = \bar{z} + 1$

(1)、求 $|z|$ 的值；

(2)、在复平面内，若 $z_{1} = \bar{z} - \frac{3}{m} + (m^{2} - 3 m + 1) i$ 对应的点在第三象限，求实数 $m$ 的取值范围.

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15、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 为单位向量，设向量 $\vec{a} = 3 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，若 $|\vec{e_{1}} - \frac{1}{2} \vec{e_{2}}| \leq 1$ ，求 ${cos}^{2} θ$ 的取值范围.

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16、瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数， $i$ 是虚数单位，该公式被称为欧拉公式.根据欧拉公式求 $|e^{θ i} - e^{\frac{π}{2} i}|$ 的最大值为.

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17、已知向量 $\vec{a} = (1, 0), \vec{b} = (x, 1)$ ，若 $\vec{b} ⊥ (\vec{b} + 2 \vec{a})$ ，则 $x =$ .

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18、已知锐角 $△ A B C$ ，角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$ ，下列命题正确的是（）

A、“ $\sin A > \cos B$ ”是“ $A + B > \frac{π}{2}$ ”的必要不充分条件 B、若 $a^{2} \tan B = b^{2} \tan A$ ，则 $△ A B C$ 是等腰三角形 C、若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{a}{b}$ 的取值范围 $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ D、若 $a^{2} = b^{2} + b c$ ，则 $\frac{1}{\tan B} - \frac{1}{\tan A}$ 的取值范围 $(1, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

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19、已知单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $θ (0 < θ < π)$ ，若平面向量 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} (x, y \in R)$ ，有序实数对 $(x, y)$ 称为向量 $\vec{a}$ 在“仿射”坐标系 $x O y$ （ $O$ 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记 $\vec{a} = {(x, y)}_{θ}$ ，则下列命题正确的是（）

A、已知 $\vec{a} = {(x_{1}, y_{1})}_{θ}, \vec{b} = {(x_{2}, y_{2})}_{θ}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = {(x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})}_{θ}$ B、已知 $\vec{O A} = {(1, 0)}_{\frac{π}{3}}, \vec{O B} = {(0, 1)}_{\frac{π}{3}}$ ，则线段 $A B$ 的长度为1 C、已知 $\vec{a} = {(2, - 1)}_{\frac{π}{3}}, \vec{b} = {(1, 2)}_{\frac{π}{3}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、已知 $\vec{a} = {(x, y)}_{\frac{π}{3}}, |\vec{a}| = 1$ ，则 $x + y$ 的最大值为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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20、已知 $i$ 是虚数单位， $\bar{z}$ 表示 $z$ 的共轭复数，复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z} - 1}{z + i} = \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$ ，则下列正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为 $- i$ B、 $|z| = \sqrt{5}$ C、 $\frac{\bar{z}}{1 - 2 i}$ 是纯虚数 D、若 $z$ 是方程 $2 x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，则 $p + q = 18$

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