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相关试卷

1、中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $S = \sqrt{\frac{1}{4} [c^{2} a^{2} - {(\frac{c^{2} + a^{2} - b^{2}}{2})}^{2}]}$ ．现有 $△ A B C$ 满足 $sin A : sin B : sin C = \sqrt{7} : 1 : 3$ ，且 $S_{△ A B C} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}$ ，则（）

A、 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ B、若 $∠ A$ 的平分线与 $B C$ 交于 $D$ ，则 $A D$ 的长为 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、若 $D$ 为 $B C$ 的中点，则 $A D$ 的长为 $\frac{\sqrt{13}}{4}$ D、若 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，则 $\vec{A O} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) = 5$

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2、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $a = 6$ ， B＝30°，则使此三角形只有唯一解的b的值可以是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、5 D、 $5 \sqrt{2}$

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3、已知对任意平面向量 $\vec{A B} = (x, y)$ ，把 $\vec{A B}$ 绕其起点沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到向量 $\vec{A P} = (x \cos θ - y \sin θ, x \sin θ + y \cos θ)$ ，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转 $θ$ 角得到点P. 已知平面内点 $A (1, 2)$ ，点 $B (1 + \sqrt{2}, 2 - 2 \sqrt{2})$ ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到点P，则点P的坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(4, 1)$ C、 $(2, - 1)$ D、 $(0, - 1)$

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4、函数 $f (x) = (x - \frac{1}{x}) \cos x$ （ $- π \leq x \leq π$ 且 $x \neq 0$ ）的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D满足 $3 \vec{B D} = \vec{B C}$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} = 0$ ．

(1)、若b＝c，求A的值；

(2)、求B的最大值．

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6、在 $Δ A B C$ 中，若 $\frac{\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{B C}}{3} = \frac{\overset{⇀}{B C} \cdot \overset{⇀}{C A}}{2} = \frac{\overset{⇀}{C A} \cdot \overset{⇀}{A B}}{1}$ ，则 $\tan A =$ .

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7、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $b = \sqrt{3}$ ， $c^{2} = 2 a \sin C$ ，则 $a$ 的最大值为．

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8、如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即 $M D = 400$ ），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高 $B C =$ m.

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9、已知水平放置的 $△ A B C$ 是按“斜二测画法”得到如下图所示的直观图，其中 $B^{'} O^{'} = C^{'} O^{'} = 1$ ， $A^{'} O^{'} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则原 $△ A B C$ 的面积为.

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10、复数 $z$ 满足 $(z - 3) (2 - i) = 5$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ ．

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11、（多选）关于平面向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ ，下列说法中错误的是（）

A、若 $\vec{a} // \vec{b}$ 且 $\vec{b} // \vec{c}$ ，则 $\vec{a} // \vec{c}$ B、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ C、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，且 $\vec{a} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{b} = \vec{c}$ D、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$

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12、已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的一个面 $A B C D$ 在一半球底面上，且 $A_{1}, B_{1}, C_{1}, D_{1}$ 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{6} π$ B、 $2 \sqrt{6} π$ C、 $16 \sqrt{3} π$ D、 $8 \sqrt{6} π$

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13、已知向量 $\vec{A B} = (- 1, 2), \vec{B C} = (4, - 1)$ ，则向量 $\vec{A C}$ 在向量 $\vec{A B}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $- \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

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14、若复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $1 + i$ D、 $2 - 2 i$

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15、若 $C_{16}^{x} = C_{16}^{2 x + 1} (x \in N^{*})$ ，则 $x =$ ．

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16、若抛物线 $y^{2} = - 2 p x$ （ $p > 0$ ）的焦点与椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（）

A、 $x = 2$ B、 $x = - 2$ C、 $x = - 1$ D、 $x = 1$

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17、 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是平面内不共线两向量，已知 $\vec{A B} = \vec{e_{1}} - k \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B} = 3 \vec{e_{1}} + 4 \vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D} = 4 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，若 $A$ ， $B$ ， $D$ 三点共线，则 $k$ 的值为（）

A、3 B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、2

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18、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 各条棱长均为2， $∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = 60 °$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长度为.

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19、如图所示，斜三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为AB的中点， $D_{1}$ 为 $A_{1} B_{1}$ 的中点，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(1)、求证：直线 $A_{1} C //$ 平面 $B C_{1} D_{1}$ ；

(2)、若三角形 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 是等边三角形且边长为2，侧棱 $A A_{1} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，且异面直线 $B C_{1}$ 与 $A B_{1}$ 互相垂直，求异面直线 $A_{1} D$ 与 $B C_{1}$ 所成角正切值；

(3)、若 $A B = 8$ ， $A C = B C = 5$ ， $\cos ∠ A_{1} A B = \frac{\sqrt{13}}{4}$ ，若三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 有内切球，求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积．

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20、设点集 $D$ 是集合 $M = \{(x, y) |x, y \in R\}$ 的一个非空子集，若按照某种对应法则 $f$ ， $D$ 中的每一点 $(x, y)$ 都有唯一的实数 $t$ 与之对应，则称 $f$ 为 $D$ 上的二元函数，记为 $t = f (x, y)$ .当二元函数 $f (x, y)$ 满足对任意 $x, y, z \in R$ ，均有：① $f (x, y) = f (y, x)$ ；② $f (x, x) = 0$ ；③ $f (x, z) + f (z, y) \geq f (x, y)$ 成立，则称二元函数 $f (x, y)$ 具有性质 $P$ .

(1)、试判断二元函数 $f (x, y) = |x - y|$ 是否具有性质 $P$ ，并说明理由；

(2)、若 $f (x, y)$ 具有性质 $P$ ，证明：函数 $g (x, y) = \sqrt{f (x, y)}$ 具有性质 $P$ ；

(3)、对任意具有性质 $P$ 的函数 $f (x, y)$ ，均可推出 $F (x, y) = \frac{f (x, y)}{m + \sqrt{f (x, y)}}$ 具有性质 $P$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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