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相关试卷

1、如图，某公园有一块扇形人工湖OAB，其中 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ， $O A = O B = 1$ 千米，为了增加人工湖的观赏性，政府计划在人工湖上建造两个观景区，其中荷花池观景区的形状为矩形 $P C O D$ ，喷泉观景区的形状为 $△ P B C$ ，且C在OB上，D在OA上，P在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，记 $∠ P O A = θ$ ．

(1)、试用θ分别表示矩形 $P C O D$ 和 $△ P B C$ 的面积；

(2)、若在PD的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区的费用为每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为6万元．求当θ为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用．

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2、已知函数 $f (x) = \cos x \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调区间；

(2)、求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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3、已知函数 $f (x) = ({log}_{2} x - 2) ({log}_{2} x - 1)$ ．

(1)、求不等式 $f (x) < 0$ 的解集；

(2)、若存在 $x \in [4, 16]$ ，使得不等式 $f (x) \geq m {log}_{2} x$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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4、若对任意的 $x \in (0, + \infty)$ ， $(x^{2} + a x - 5) (a x - 1) \geq 0$ 恒成立，则实数a= ．

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5、若 $sin 2 α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $sin (β - α) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ，且 $α \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ ， $β \in [π, \frac{3}{2} π]$ ，则 $α + β =$ ；

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6、已知函数 $f (x) = \log_{2} (\sqrt{x^{2} + 1} - x) + 3$ .则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 3)$ 对称 B、 $f (\ln 2) + f (\ln \frac{1}{2}) = 6$ C、函数 $f (x)$ 在定义域上单调递增 D、若实数a，b满足 $f (a) + f (b) > 6$ ，则 $a + b < 0$

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7、下列说法正确的是（）

A、半径为3，弧长为 $π$ 的扇形的面积为 $3 π$ B、计算 $2 \log_{5} 10 + \log_{5} 0.25$ 的值为2 C、函数 $f (x) = e^{x} + x$ 的零点所在的一个区间是 $(- 2, - 1)$ D、已知 $x + 2 y = 1$ ，则 $3^{x} + 9^{y}$ 的最小值为 $2 \sqrt{3}$

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} e^{x}, x \geq 0 \\ - 2 x, x < 0 \end{cases}$ ，则方程 $f [f (x)] - 2 = 0$ 的根个数为（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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9、已知 $\tan (α + β) = 3, \tan β = \frac{1}{3}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{1}{2} x^{2} - a x$ ．

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求在曲线 $y = f (x)$ 上的点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，证明： $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 2 - \frac{a}{2}$ ．

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11、如图在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，侧棱 $P A ⊥ P D$ ，且 $A D = 4 A B = 4$ ， $P A = 2$ ， $P C = \sqrt{13}$ ，点E为AD中点，

(1)、求证：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $B - P C - E$ 的余弦值；

(3)、点F为对角线AC上的点，且 $F G ⊥ P B$ ，垂足为G，求FG与平面ABCD所成的最大角的正弦值.

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12、如图在直角梯形 $A B C D$ 中， $\vec{B C} = 2 \vec{A D}$ ， $B C = C D = 2$ ，点E为CD的中点，以A为圆心AD为半径作圆交AB于点G，点P为劣弧DG（包含D，G两点）上的一点，AC与劣弧、BE分别交于点F，H.

(1)、求向量 $\vec{A F}$ 与 $\vec{B E}$ 夹角 $α$ 的余弦值；

(2)、若向量 $\vec{B H} = x \vec{B D} + y \vec{A C}$ ，求实数x，y的值；

(3)、若向量 $\vec{B P}$ 与 $\vec{C P}$ 的夹角为 $β$ ，求 $cos β$ 的最小值.

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13、某村委为落实“美丽乡村”建设，计划将一块闲置土地改造成花卉观赏区.该土地为四边形形状，如图所示： $A B = A D = 100$ 米， $B C = 160$ 米， $∠ B A D = 2 ∠ B C D = 120 °$ .

(1)、求 $cos ∠ B D C$ 的值；

(2)、若点 $E, F$ 分别为边 $B C, C D$ 上的点，且 $C E = 80$ 米， $C F = 60$ 米，又点 $I$ 在以C为圆心， $C F$ 为半径的圆弧 $F G$ 上（ $△ B C D$ 内部），准备将四边形 $C E I F$ 区域种植郁金香.设 $∠ E C I = θ$ ，求四边形 $C E I F$ 的面积关于 $θ$ 的表达式，并求该面积的最大值（无须求出取得最大值时的条件）

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $M$ 、 $N$ 分别是BC、 $C C_{1}$ 的中点， $A B_{1} ⊥ M N$ .

(1)、证明： $M N ⊥$ 平面 $A B_{1} M$ ；

(2)、求 $C_{1}$ 点到平面 $A B_{1} M$ 的距离.

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15、已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (- 2, 3)$ ， $\vec{c} = (6, - 1)$ .

(1)、求满足 $\vec{c} = 2 \vec{a} + y \vec{b}$ 的实数x，y的值；

(2)、若 $(4 \vec{a} + \vec{c}) / / \vec{b}$ ，求实数x的值.

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{π}{3}$ ， $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (2 \vec{b} - \vec{c}) = 0$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的取值范围为.

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17、已知圆柱的轴截面面积为1，则该圆柱侧面展开图的周长的最小值为.

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18、水平放置的 $△ A B C$ 斜二测直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 2$ ， $∠ A^{'} B^{'} C^{'} = 60 °$ ，则 $△ A B C$ 的面积为.

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19、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2， $E$ 是线段 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $F$ 是线段 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A_{1} D$ 上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

A、 $C_{1} P$ 的最小值为 $\sqrt{6}$ B、 $∠ B_{1} P C$ 可能是直角 C、三棱锥 $A - P E F$ 的体积为定值 D、 $△ P E F$ 的周长的最小值为 $2 \sqrt{5} + \sqrt{2}$

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20、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且 $A = \frac{π}{4}$ ， $b = 2 \sqrt{2}$ ，若 $△ A B C$ 有且仅有一个解，则 $c - a$ 的可能取值有（）

A、0 B、 $4 - 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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