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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x |x - a| + a |x + 1| + 1$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $a \geq - 1$ 时，若 $f (x)$ 在 $x \in R$ 上单调递增，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若函数 $f (x)$ 有3个不相等的零点 $x_{1}, x_{2}, x_{3} (x_{1} < x_{2} < x_{3})$ ，在此条件下无论 $a$ 取何值，不等式 $λ x_{3} > x_{1} x_{2}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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2、已知函数 $f (x) = m x^{2} - 2 x + 1$ ， $m \in R$ ，函数 $g (x) = 2^{x}$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $(- 2, 1)$ 上的值域；

(2)、若 $\forall x_{1} \in [1, + \infty)$ ，都 $\exists x_{2} \in [1, + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) > g (x_{2})$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设 $h (x) = f [g (x)]$ ，问是否存在实数 $m$ ，使得函数 $h (x)$ 图象上存在两个不同的点关于 $P (1, 2)$ 对称？若存在，求实数 $m$ 的取值范围，若不存在，请说明理由.

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3、已知函数 $f (x) = {log}_{2} \frac{x + a}{b - x}$ 为奇函数，且 $f (\frac{2}{3}) = 1$ .

(1)、求实数 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、判断 $f (x)$ 在定义域内的单调性，并说明理由（不需要证明）；

(3)、解不等式 $f (2 x - 1) + f (x + 1) > 0$ .

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4、已知集合 $A = \{x |x^{2} + (2 - m) x + 3 - m = 0\}$ ，集合 $B = \{x_{1}, x_{2}\}$ ， $B \subseteq A$ .

(1)、若 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 6$ ，求实数 $m$ 的值；

(2)、若 $0 < x_{1} < x_{2} < 2$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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5、求值：

(1)、 ${(\frac{81}{16})}^{\frac{3}{4}} - 4^{{log}_{2} \sqrt{3}} - \sqrt{{(\frac{21}{8} - π)}^{2}}$ ；

(2)、 ${(\frac{1}{{log}_{2} 10})}^{2} + lg 5 \cdot lg 20$ .

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6、定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x - 1) = 0$ ， $f (- 2 x + 1) = f (2 x + 5)$ ，若 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} k f (k - \frac{1}{2}) =$ .

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7、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - a x - 3 + a^{2})$ 在 $[1, + \infty)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是.

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8、已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 3 m - 3) x^{m^{2} + m - 3}$ 在 $(0, + \infty)$ 上是减函数，则实数 $m$ 的值为.

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9、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdot \cdot \cdot a_{n}, \cdot \cdot \cdot\}$ ， $B = \{b_{1}, b_{2}, b_{3}, \cdot \cdot \cdot b_{n}, \cdot \cdot \cdot\}$ ，其中 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < \cdot \cdot \cdot < a_{n} < \cdot \cdot \cdot$ ， $b_{1} < b_{2} < b_{3} < \cdot \cdot \cdot < b_{n} < \cdot \cdot \cdot$ ，且满足： $A \cup B = N^{*}$ ， $A \cap B = \emptyset$ ，若对于 $B$ 中的元素 $k$ ，在A中至少存在两个不同元素 $a_{i_{1}}, a_{i_{2}}, \cdot \cdot \cdot, a_{i_{m}} (m \geq 2)$ ，使得 $k = a_{i_{1}} + a_{i_{2}} + \cdot \cdot \cdot + a_{i_{m}}$ ，则称集合A具有性质 $P (k)$ ，下列选项正确的有（）

A、若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 $P (4)$ B、若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 $P (3)$ C、若 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} \geq 3$ ，则集合A具有性质 $P (b_{1})$ D、若 $a_{1} = 1$ ， $b_{1} \geq 4$ 且 $b_{2}$ 为奇数，则集合A具有性质 $P (b_{1})$ 和 $P (b_{2})$ ，但不具有性质 $P (b_{2} - b_{1})$

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10、已知不等式 $a x^{2} + b x + c > 0$ 的解集是 $(- 2, 3)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a > 0$ B、不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集是 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{3})$ C、当 $c = 2$ 时， $f (x) = 3 a x^{2} + 6 b x$ ， $x \in [n_{1}, n_{2}]$ 上的值域为 $[- 8, 1]$ ，则 $n_{2} - n_{1}$ 的取值范围是 $[3, 6]$ D、若关于 $m$ 的不等式 $m^{2} - m > \frac{b + 5}{\sqrt{b + 4}}$ 有解，则实数 $m$ 的取值范围是 $\{m |m > 2 或 m < 1\}$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{k - 3^{x}}{1 + k \cdot 3^{x}}$ （ $k$ 为常数）是定义域为 $R$ 的奇函数，则下列选项中正确的是（）

A、 $k = \pm 1$ B、 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 的值域为 $(- 1, 1)$ D、 $f (x) > 0$ 的解集为 $(- \infty, 0)$

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12、函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，满足 $f (x) = - 2 f (x - 1)$ ，且当 $x \in (0, 1]$ 时， $f (x) = x (1 - x)$ .若对任意 $x \in (- \infty, m]$ ，都有 $f (x) \leq \frac{8}{9}$ ，则 $m$ 的最大值是（）

A、 $\frac{11}{5}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{32}{15}$ D、 $\frac{7}{3}$

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13、已知函数 $f (x) = 2024^{x} + {log}_{2024} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 2024^{- x}$ ，若 $x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ 且 $f (\sqrt{x_{1}} - 2) = a$ ， $f (\sqrt{x_{2}}) = - a$ ，则 $x_{1} + x_{2}$ 的最小值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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14、函数 $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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15、某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以 $a %$ 的增长率生长，经过8天后，该植物的长度是原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，则24天后该植物的长度是原来的（）

A、 $\frac{27}{16}$ 倍 B、 $\frac{27}{32}$ 倍 C、 $\frac{27}{8}$ 倍 D、 $\frac{27}{4}$ 倍

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16、若 $m$ 为函数 $f (x) = {log}_{2} x + x - 2$ 的零点，则 $m$ 所在区间为（）

A、 $(\frac{1}{2}, 1)$ B、 $(1, 2)$ C、 $(2, \frac{5}{2})$ D、 $(\frac{5}{2}, 3)$

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17、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1\}, B = \{0, 1, 2, 3\}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{- 2, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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18、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \frac{a - 3^{x}}{a + 3^{x}}, (a > 0)$ 是奇函数.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、解不等式 $f (4^{x} + 8) + f (- 3 \cdot 2^{x + 1}) < 0$ ；

(3)、设函数 $g (x) = 4^{x} + 2^{x + 1} + m$ ，若 $\forall x_{1} \in R, \exists x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $f (x_{1}) \leq g (x_{2})$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{x}$

(1)、判断并证明 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、请用定义证明函数 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 上单调递减；

(3)、若存在 $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ ，使得 $x^{2} - a x + 1 \geq 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20、解不等式

(1)、 $2^{x^{2} - 2 x - 3} < {(\frac{1}{2})}^{3 x - 3}$

(2)、 ${log}_{0.3} (3 x) < {log}_{0.3} (x + 1)$

(3)、 ${(m^{2} + 2 m + 2)}^{3 - 2 x} < {(m^{2} + 2 m + 2)}^{x}$ .

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