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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{3} - a x + 1$ 的图象在 $x = 2$ 处切线的斜率为 $9$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $a = 3$ B、 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极大值 C、当 $x \in (- 2, 1]$ 时， $f (x) \in (- 1, 3]$ D、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 中心对称

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2、已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 8 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，下列结论正确的是（）

A、若 $A (2, \frac{1}{2})$ ，则 $|A F| = \frac{5}{2}$ B、若 $E (2, 3)$ ，则 $|A E| + |A F|$ 的最小值为4 C、以线段 $A B$ 为直径的圆与直线 $y = - 2$ 相切 D、若 $\vec{A F} = 3 \vec{F B}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为1

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3、下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (0, 3, 0)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{u} = (0, - 5, 0)$ ，则 $l / / α$ B、两个不同的平面 $α$ ， $β$ 的法向量分别是 $\vec{u} = (2, 2, - 1)$ ， $\vec{v} = (- 3, 4, 2)$ ，则 $α ⊥ β$ C、若直线 $l$ 的方向向量 $\vec{a} = (1, 2, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量 $\vec{m} = (3, 6, k)$ ，若 $l ⊥ α$ ，则实数 $k = 15$ D、若 $\vec{A B} = (2, - 1, - 4)$ ， $\vec{A C} = (4, 2, 0)$ ， $\vec{A P} = (0, - 4, - 8)$ ，则点 $P$ 在平面 $A B C$ 内

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4、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $P$ 是椭圆上一点，且 $2 \overset{⃑}{P F_{1}} \cdot \overset{⃑}{P F_{2}} = |\overset{⃑}{P F_{1}}| \cdot |\overset{⃑}{P F_{2}}|$ ，若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的内切圆的半径 $r$ 满足 $|\overset{⃑}{P F_{1}}| = 3 r \sin ∠ F_{1} F_{2} P$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{4}{7}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{7}$ D、 $\frac{1}{3}$

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5、已知 $a = 3 \ln 2^{t}$ ， $b = 2 \ln 3^{t}$ ， $c = 3 \ln t^{2}$ ，其中 $t \in (3, 4)$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $c > a > b$ C、 $b > c > a$ D、 $c > b > a$

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6、已知离心率为2的双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ ，过右焦点且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A$ 、 $B$ 两点，设 $A$ 、 $B$ 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 $d_{1}$ 和 $d_{2}$ ，且 $d_{1} + d_{2} = 4$ ，则双曲线的方程为（）

A、 $\frac{3 x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{4 x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$

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7、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{}$ 中， $A B = A D = 2, A A_{1} = 4$ ，则 $A_{1}$ 到平面 $A B_{1} D_{1}$ 的距离为（）

A、4 B、2 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8、空间内有三点 $A (3, 4, 4)$ ， $B (1, 5, 2)$ ， $C (3, 7, 0)$ ，则点 $A$ 到 $B C$ 的中点 $P$ 的距离为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{13}$ C、 $\sqrt{14}$ D、 $4$

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9、已知集合 $A = {- 4, - 3, 0, 6}, B = {x \in Z ||x| \leq 3}$ ，则 $A \cap B$ 的非空真子集的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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10、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l_{1} : y = x + b$ 与圆 $O$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作直线 $l_{2} : x = m (m \in R)$ 的垂线，垂足分别为 $C, D (C, D$ 分别异于 $A, B)$ .

(1)、求实数 $b$ 的取值范围；

(2)、若 $m = - 4$ ，用含 $b$ 的式子表示四边形 $A B D C$ 的面积；

(3)、当 $b = m - 1$ 时，若直线 $A D$ 和直线 $B C$ 交于点 $E$ ，证明点 $E$ 在某条定直线上运动，并求出该定直线的方程.

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11、在 $△ A B C$ 中，顶点 $A (2, 3)$ ，点 $B$ 在直线 $l : 3 x - y + 1 = 0$ 上，点 $C$ 在 $x$ 轴上，则 $△ A B C$ 周长的最小值为.

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12、已知圆 $C$ 的方程是 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 11 = 0$ ，则圆心 $C$ 的坐标是（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(2, - 1)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(4, - 2)$

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13、设 $△ A B C$ 的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $b sin A = \sqrt{3} a cos B .$

(1)、求B；

(2)、若 $a = 1, b = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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14、《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理.如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $A B = 1, O$ 为正八边形的中心，则 $\vec{A B} \cdot \vec{H D} =$ .

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15、若点 $P (- 1, 2)$ 在圆C： $x^{2} + y^{2} + x + y + m = 0$ 的外部，则m的取值可能为（）

A、5 B、1 C、 $- 4$ D、 $- 7$

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16、已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a＞0，b $>$ 0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为．

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17、如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且 $D B = A B = D M = 1$ ， $P B = 2 M D$ ， $D M ⊥$ 平面ABCD， $P B // D M$ ，点N为PC上的动点.

(1)、求证：存在点N，使得 $A M // B N$ .

(2)、求二面角 $A - M P - C$ 的正弦值.

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18、已知四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $S A ⊥ B D$ ， $S A = A D = \frac{\sqrt{2}}{2} C D$ ， $M$ 是 $S B$ 的中点．

(1)、证明： $M C ⊥ B D$ ；

(2)、若 $S A ⊥ A D$ ， $S A = 2$ ，点 $P$ 是 $S C$ 上的动点，直线 $A P$ 与平面 $A M C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，求 $\frac{S P}{S C}$ ．

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19、给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $⟨\vec{a}, \vec{b}⟩$ 是钝角 B、若 $\vec{A D} = \frac{1}{3} \vec{A C} + \frac{2}{3} \vec{A B}$ ，则可知 $\vec{C D} = 2 \vec{D B}$ C、若 $\vec{a}$ 为直线l的方向向量，则λ $\vec{a} (λ \in R)$ 也是直线l的方向向量 D、在四面体 $P - A B C$ 中，若 $\vec{P A} \cdot \vec{B C} = 0$ ， $\vec{P C} \cdot \vec{A B} = 0$ ，则 $\vec{P B} \cdot \vec{A C} = 0$

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20、已知函数 $f (x) = \frac{3^{x} - a}{3^{x} + 1} (a \in R)$ .
（1）若函数 $f (x)$ 为奇函数，求a的值，并求此时函数 $f (x)$ 的值域；
（2）若存在 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求实数a的取值范围.

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