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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) = \frac{2 x + 2}{x^{2} + 2 x + 2}$

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、用定义法证明 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减.

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2、已知 $a > b > 1$ ．

(1)、证明 $\frac{a}{a - 1} < \frac{b}{b - 1}$ ．

(2)、若 $a + b = 5$ ，求 $\frac{1}{a - 1} + \frac{4}{b + 1}$ 的最小值．

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3、给出下列两个结论：① $\forall x \in [1, 3]$ ， $m x - 2 m - 4 < 0$ ；②函数 $f (x) = x^{2} - (m + 1) x - 3$ 在 $[1, 2]$ 上单调.

(1)、若结论①正确，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若结论①②都正确，求 $m$ 的取值范围.

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4、已知集合 $A = {x |1 < x < 8}$ ， $B = {x |a - 1 < x < 2 a + 5}$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $A \cap B$ ， $(∁_{R} A) \cup B$ .

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得 $A \cap B = A \cup B$ ？若存在，求 $a$ 的值；若不存在，说明理由.

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x, x \leq 0 \\ 2^{x} + 2, x > 0 \end{cases}$ ，若 $f (f (a)) = 18$ ，则 $a =$ ．

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6、已知 $a \in R$ ，则 $a^{2} + 3 a - 1$ $2 a - 2$ （填“ $>$ ”或“ $<$ ”）

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7、用列举法表示由倒数大于 $\frac{1}{4}$ 的整数构成的集合为.

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8、已知函数 $f (x)$ 满足对于任意不同的实数x，y，都有 $f (x) + f (y) > \frac{x f (y) - y f (x)}{x - y}$ ，则（）

A、 $f (1) > 0$ B、 $f (- 1) + f (1) < 0$ C、 $(x^{2} + 1) f (x^{2} + 1) > x f (x)$ D、 $\frac{f (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} > \frac{f (x)}{x}$

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9、下列命题是真命题的有（）

A、空集是任何集合的子集 B、“有些三角形是等腰三角形”的否定为“所有的三角形都不是等腰三角形” C、“ $x > 1$ ”是 $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \geq 3$ 的一个充分条件 D、已知a， $b \neq 0$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ 是“ $a^{3} > b^{3}$ ”的充要条件

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10、已知 $a > - 1$ ，且 $a b - 2 a + b = 5$ ，则 $(a + 2) (b + 1)$ 的最小值为（）

A、12 B、10 C、9 D、8

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11、已知指数函数 $f (x) = a^{x}$ 与 $g (x) = b^{x}$ 的图象如图所示，则（）

A、 $a > a^{b} > b > b^{a}$ B、 $a > a^{b} > b^{a} > b$ C、 $a^{b} > a > b^{a} > b$ D、 $a^{b} > a > b > b^{a}$

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12、已知集合 $M$ 满足 ${- 1, 1} \subseteq M \subseteq {- 4, - 1, 1, 2}$ ，则不同的 $M$ 的个数为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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13、若 $a^{m} = 3$ ， $a^{n} = 4$ ，则 $a^{\frac{2 m + 3 n}{2}} =$ （）

A、24 B、12 C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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14、“ $x > 3$ ”是“ $|x - 1| > 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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15、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 3]$ ，则函数 $f (2^{x} - 1)$ 的定义域为（）

A、 $[1, 4]$ B、 $[0, 2]$ C、 $[0, 4]$ D、 $[1, 2]$

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16、已知 $f (x) = (a - 1) x^{a}$ 为幂函数，则 $f (- 2) =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、4 D、 $\frac{1}{4}$

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17、已知集合 $A = {x |2 x + 1 > 0}$ ， $B = {- 2, - 1, 2, 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 2, 3}$ B、 ${- 2, - 1}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${3}$

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18、定义：已知集合 $M = {x | 2 a - 3 < x < 2 a} (a \geq 0)$ ， $\forall x \in M$ ， $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ ，则称 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”.
（1）当 $a = 4$ 时，判断 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 是否为“有界恒正不等式”；
（2）设 $a x^{2} - (a^{2} + a + 2) x + 2 a + 2 > 0$ 为“有界恒正不等式”，求 $a$ 的取值范围.

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19、已知函数 $f (x) = x + \frac{1}{2 x} + \frac{1}{2}$ ．

(1)、当 $x \in [1, + \infty)$ 时，判断函数 $f (x)$ 的单调性并证明；

(2)、若不等式 $f (1 + 2 x^{2}) > f (x^{2} - 2 x + 4)$ 成立，求实数x的取值范围．

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20、某游乐场需要修建一间背面靠围墙的矩形母婴室，地面面积为5平方米，地面费用总价为五千元．现需要对母婴室外墙正面和屋顶进行带有游乐场主题特色的装修，因此外墙正面每平方米造价为1500元，屋顶造价一万元；母婴室外墙侧面普通装修即可，每平方米造价600元；母婴室墙高3米，不计母婴室背面费用．

(1)、若游乐场母婴室正面长设为x米，请用x表示该游乐场母婴室的总造价 $W ($ 元 $) ；$

(2)、如何设计能使得该游乐场母婴室的总造价最低？最低总造价为多少？

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