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相关试卷

1、函数 $f (x) = 2 x - 1 + \sqrt{x - 2}$ 的最小值是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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2、已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $2 a + b > 0$ B、 $a b c < 0$ C、关于 $x$ 的不等式 $c x^{2} + b x + a > 0$ 的解集为 $\{x |x < \frac{1}{m}$ 或 $x > \frac{1}{n}\}$ D、 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n} + 2 \leq 0$

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3、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x - \frac{2}{x + 1}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $x < 0$ 时， $f (x) = x + \frac{2}{1 - x}$ B、 $x f (x) < 0$ 的解集为 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ C、 $f (0) = - 2$ D、 $|f (x)|$ 的单调递增区间为 $(- 1, 0)$ ， $(1, + \infty)$

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4、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} 2 x + 2, x < 0 \\ \sqrt{x}, 0 \leq x \leq 4 \\ x^{2} - 8 x + 14, x > 4 \end{matrix},$ 若 $f (a) = 2$ ，则 $f (5 - a)$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，且满足 $f (x) + f (y) = f (x + y) - 2 x y + 2$ ， $f (1) = 2$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (4) = 12$ B、方程 $f (x) = 2 x$ 有解 C、 $f (x)$ 是偶函数 D、 $f (x - \frac{1}{2})$ 是偶函数

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (5) = 4$ ， $f (x + 3)$ 是偶函数，且对于任意的 $x_{1}, x_{2} \in [3, + \infty)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，则（）

A、 $f (0) < 4$ B、 $f (1) < 4$ C、 $f (2) > 4$ D、 $f (- 1) > 4$

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7、函数 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{|1 - x^{2}|}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{x^{2} - 4 x - 5}$ 在 $(a, + \infty)$ 单调递增，则a的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - 1]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $[5, + \infty)$

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9、已知函整 $f (x)$ 的定义域为 $(- 4, 28)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x^{2} - 8)}{\sqrt{x - 3} \cdot \sqrt{x + 3}}$ 的定义域为（）

A、 $(4, 28)$ B、 $(- 6, - 3) \cup (3, 6)$ C、 $(3, 6)$ D、 $(- 3, - 3) \cup (2, 3)$

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10、已知 $f (x) = x^{3} - 3 x$ ，则“ $x_{1} + x_{2} = 0$ ”是“ $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11、下列关于集合运算的结论，错误的是（）

A、 $∁_{U} (A \cup B) = ∁_{U} A \cap ∁_{U} B$ B、 $A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$ C、 $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ D、 $A \cup (B \cap C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$

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12、如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交其“伴随圆”于点 $N$ ，称点 $N$ 为点 $M$ 的“伴随点”．已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 上的点 $(\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 的一个“伴随点”为 $(\sqrt{3}, 1)$ ．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、过点 $(- 3, 0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A, B$ ，点 $C$ 与点 $A$ 关于 $x$ 轴对称．
（ⅰ）证明：直线 $B C$ 恒过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的直线 $B C$ 所过的定点为 $T$ ，若 $B, C$ 在直线 $x = - 3$ 上的射影分别为 $B_{1}, C_{1}$ （ $B_{1}$ ， $C_{1}$ 为不同的两点），记 $△ T B B_{1}$ ， $△ T C C_{1}$ ， $△ T B_{1} C_{1}$ 的面积分别为 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，求 $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3}}$ 的取值范围．

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13、已知等腰梯形 $A B C D$ 如图 $1$ 所示，其中 $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 45 °$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上，且 $B E ⊥ A D$ ， $A D = 3 B C$ ，现沿 $B E$ 进行翻折，使得平面 $A B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，所得图形如图 $2$ 所示．

(1)、证明： $C D ⊥ A E$ ；

(2)、已知点 $F$ 在线段 $C D$ 上（含端点位置），点 $G$ 在线段 $A F$ 上（含端点位置）．
（ⅰ）若 $C F = 2 D F$ ，点 $G$ 为线段 $A F$ 的中点，求 $A C$ 与平面 $B E G$ 所成角的正弦值；
（ⅱ）探究：是否存在点 $F, G$ ，使得 $A F ⊥$ 平面 $B E G$ ，若存在，求出 $\frac{A G}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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14、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = B C = \frac{1}{2} A A_{1} = 6$ ，点 $E, F$ 分别是线段 $A A_{1}, C C_{1}$ 上靠近 $A_{1}, C$ 的四等分点．

(1)、求点 $B_{1}$ 到平面 $D_{1} E F$ 的距离；

(2)、求平面 $D_{1} E F$ 与平面 $B_{1} A C$ 的夹角的余弦值．

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ ，直线 $l$ 与 $C$ 交于 $M, N$ 两点．

(1)、若 $l$ 的方程为 $x - y - 3 = 0$ ，求 $|M N|$ ；

(2)、若 $\vec{M P} = \frac{1}{2} \vec{M N}$ ，且 $P (1, 3)$ ，求 $l$ 的斜率．

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16、已知直线 $l$ 过点 $(3, - 5)$ ．

(1)、若直线 $l$ 与直线 $l^{'} : 2 x - 7 y - 1 = 0$ 垂直，求 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 y - 8 = 0$ 相切，求 $l$ 的方程．

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17、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C_{1}$ 和双曲线 $C_{2}$ 的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，若 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}$ ，则 $\frac{1}{e_{1}} + \frac{1}{e_{2}}$ 的取值范围是．

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18、已知六面体 $A B C D E$ 如图所示，其由一个三棱锥 $C - A B D$ 和一个正四面体 $A B D E$ 拼接而成，其中 $C A = C B = C D = 2$ ， $D E = 2 \sqrt{2}$ ，若 $F$ 为线段 $A C$ 的中点，则异面直线 $A D$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为．

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19、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，则 $C_{1}, C_{2}$ 的公切线方程为．（写出一条即可）

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20、已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左、右焦点，经过点 $F_{1}$ 且倾斜角为钝角的直线 $l$ 与 $C$ 的两条渐近线分别交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 为 $C$ 上第二象限内一点，则（）

A、若双曲线 $E$ 与 $C$ 有相同的渐近线，且 $E$ 的焦距为8，则 $E$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、若 $M (- 2, 2)$ ，则 $|P F_{1}| + |P M|$ 的最小值是 $2 \sqrt{5} - 2$ C、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 内切圆的半径为1，则点 $P$ 的坐标为 $(- 2, 3)$ D、若线段 $A B$ 的中垂线过点 $F_{2}$ ，则直线 $l$ 的斜率为 $- \frac{\sqrt{15}}{5}$

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