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相关试卷

1、已知 $f (x) = a^{x} - x^{a}$ （ $x \geq 0$ ， $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）.

(1)、当 $a = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的切线方程；

(2)、当 $a = e$ 时，求证： $f (x)$ 在 $(e, + \infty)$ 上单调递增；

(3)、设 $a > e$ ，已知 $\forall x \in (\frac{e^{2}}{2} \ln a, + \infty)$ ，有不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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2、某校组织知识竞赛，有 $A, B$ 两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，能正确回答B类问题的概率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；

(2)、若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：
方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．
方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．
为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？

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3、在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2, ∠ A B C = 90 °, D$ 在 $B B_{1}$ 上，且 $B D = \frac{1}{2}$ ．

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ A D$ ；

(2)、当四棱锥 $A - B C C_{1} D$ 的体积为 $\frac{5}{4}$ 时，求平面 $A C_{1} D$ 与平面 $A B C$ 所成二面角的正弦值．

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = S_{n} + 2$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = {log}_{2} a_{n}^{2} - 11$ ，求数列 $\{|b_{n}|\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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5、对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第 $n$ 层货物的个数为 $a_{n}$ ，则数列 $\{\frac{n}{(n + 4) a_{n}}\}$ 的前12项和 $S_{12} =$ .

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6、已知随机事件 $A ， B$ 满足 $P (A) = \frac{1}{3} ， P (B) = \frac{1}{4} ， P (B | A) = \frac{1}{2}$ ，则 $P (A + B) =$ ．

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7、设函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} - 2 x^{2} + 2 x$ ，则下列结论正确的是（）

A、存在实数 $x_{0}$ 使得 $f (x_{0}) = f^{'} (x_{0})$ B、方程 $f (x) = 3$ 有唯一正实数解 C、方程 $f (x) = - 1$ 有唯一负实数解 D、 $f (x) = 1$ 有负实数解

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8、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin ω x cos ω x - \frac{1}{2} sin (2 ω x - \frac{π}{2})$ （ $ω \in R$ ，且 $ω > 0$ ）， $x \in R$ ，若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 2 π)$ 上恰有3个极大值点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{13}{6}, \frac{19}{6})$ B、 $(\frac{13}{6}, \frac{19}{6}]$ ． C、 $[\frac{13}{12}, \frac{19}{12})$ D、 $(\frac{13}{12}, \frac{19}{12}]$

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9、甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区的不同安排方案共有（）

A、6种 B、18种 C、36种 D、72种

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10、若 $p : x < 0$ ，则 $p$ 的一个充分不必要条件为（）

A、 $x > - 1$ B、 $x < 1$ C、 $- 1 < x < 1$ D、 $x < - 1$

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11、若 $z \cdot (2 + i) = 3 - i^{2024}$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $- \frac{2}{5} i$

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12、已知集合 $A = \{- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |\frac{x - 2}{x + 2} \leq 0\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ B、 $\{- 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 3, 3\}$ D、 $\{- 3, - 2, 3\}$

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13、“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的.如图是抽象的城市路网，其中线段 $|A B|$ 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用 $d (A, B)$ 表示，称“曼哈顿距离”，也叫“折线距离”，即 $d (A, B) = |A C| + |C B|$ ，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，则 $d (A, B) = |x_{2} - x_{1}| + |y_{2} - y_{1}|$ .

(1)、①点 $S (3, 7)$ ， $T (2, - 1)$ ，求 $d (S, T)$ 的值；
②写出到定点 $G (1, 1)$ 的“曼哈顿距离”为2的点的轨迹方程，

(2)、已知点 $N (1, 0)$ ，直线 $l$ ： $2 x - y + 2 = 0$ ，求点 $N$ 到直线 $l$ 的“曼哈顿距离”最小值；

(3)、我们把到两定点 $F_{1} (- c, 0)$ ， $F_{2} (c, 0) (c > 0)$ 的“曼哈顿距离”之和为常数 $2 a (a > c)$ 的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.
（i）求“曼哈顿椭圆”的方程；
（ii）根据“曼哈顿椭圆”的方程，研究“曼哈顿椭圆”性质中的范围、对称性，并说明理由.

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14、公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中 $A (- 3, 0)$ ， $B (1, 0)$ ，且 $|P A| = 3 |P B|$ .

(1)、求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)、过 $C (3, 2)$ 作（1）的切线，求切线方程；

(3)、若点 $P (x, y)$ 在（1）的轨迹上运动，另有定点 $D (5, 1)$ ，求 $P D$ 的取值范围.

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15、已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $M (3, 1)$ 在E上，且 $|M F_{1}| + |M F_{2}| = 4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求E的标准方程；

(2)、若直线l与E交于A，B两点，且AB中点为 $P (- 2, 1)$ ，求直线l的方程．

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16、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $|A C| = |B C| = |C C_{1}| = 2$ ．

(1)、求证： $A B_{1} ⊥ B C_{1}$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $A B_{1} C_{1}$ 的距离．

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17、已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : {(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 16 (a > 0)$ 有 $3$ 条公切线，则实数 $a$ 的取值是.

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18、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 0, 2), \vec{b} = (- 2, 1, 3)$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ .

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19、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P为棱 $B B_{1}$ 的中点，Q为正方形 $B B_{1} C_{1} C$ 内一动点(含边界)，则下列说法中正确的是( )

A、若 $D_{1} Q ∥$ 平面 $A_{1} P D$ ，则动点Q的轨迹是一条线段 B、存在Q点，使得 $D_{1} Q ⊥$ 平面 $A_{1} P D$ C、当且仅当Q点落在棱 $C C_{1}$ 上某点处时，三棱锥 $Q - A_{1} P D$ 的体积最大 D、若 $D_{1} Q = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ，那么Q点的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2}}{4} π$

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20、关于椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，下列结论正确的是（）

A、长轴长为4 B、短轴长为1 C、焦距为 $2 \sqrt{2}$ D、离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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