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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 2 x - 8 < 0\}, B = \{x |x \leq 4\}$ ，则“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、已知集合 $M = {x | 6 x - 3 < 3}$ ， $N = {- 2, 0, 1, 3}$ ，则 $M \cap N =$ （）

A、 ${0, 1, 3}$ B、 ${- 2}$ C、 ${- 2, 0}$ D、 ${- 2, 0, 1, 3}$

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3、下列关系正确的是（）

A、 $π^{2} \in Q$ B、 $0 \notin N$ C、 $- 4 \notin Z$ D、 $- 2024 \in R$

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4、已知函数 $f (x)$ 是偶函数， $g (x)$ 是奇函数，且 $f (x) + g (x) = e^{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的解析式；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $f (x) < m g (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、设函数 $h (x) = [f (x) - g (x)] \cdot x + a {(x - 1)}^{2}$ ，若 $h (x)$ 存在大于1的极小值点，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知向量 $\vec{a} = (\sin 2 x, \cos 2 x)$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (|θ| < \frac{π}{2})$ ，若 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，且函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求使 $f (x) > \frac{1}{2}$ 成立的 $x$ 的取值范围；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象先向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到函数 $g (x)$ 的图象，设函数 $h (x) = g (x) \cdot \cos x$ ，求 $h (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, 0]$ 上的值域．

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差不为零的等差数列， $a_{1} = 1$ ，且 $a_{1} 、 a_{3} 、 a_{9}$ 成等比数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{2^{a_{n}} + a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{10}$ .

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7、清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在 $n \times n$ 的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数 $C_{2 n}^{n} - C_{2 n}^{n - 1}$ .如图，现有 $3 \times 4$ 的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角 $A$ 走到右上角 $B$ 共有种不同的走法；若要求从左下角 $A$ 走到右上角 $B$ 的过程中只能在直线 $A C$ 的右下方，但可以到达直线 $A C$ ，则有种不同的走法.

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8、已知 ${log}_{a} b + 4 {log}_{b} a = 4$ ，则 $\frac{a^{2}}{2 b}$ 的值为．

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9、已知展开式 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{n}$ 的二项式系数之和为 $32$ ，则该展开式中 $x$ 的系数为.

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10、双曲线C： $\frac{x^{2}}{5} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（）

A、以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ B、双曲线C的离心率为 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、直线 $A P$ 与 $B Q$ 的斜率之积为 $- \frac{4}{5}$ D、双曲线C的焦点到渐近线的距离为2

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11、某厂近几年陆续购买了几台 A 型机床，该型机床已投入生产的时间x（单位：年）与当年所需要支出的维修费用y（单位：万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2
3.8
5.5
6.5
7
根据表中的数据可得到经验回归方程为. $y = 1.23 x + \hat{a}$ ，则（）

A、y与x的样本相关系数 $r \geq 0$ B、 $\hat{a} = 0.08$ C、表中维修费用的第60百分位数为6 D、该型机床已投入生产的时间为 10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元

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12、已知函数 $f (x) = sin ω x + cos ω x (ω > 0)$ 的图象的一条对称轴是 $x = 2 π$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恰有两零点，则 $ω$ 的最大值是（）

A、 $\frac{45}{8}$ B、 $\frac{41}{8}$ C、 $\frac{37}{8}$ D、 $\frac{29}{8}$

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13、圆锥的顶点为 $S, A B$ 为底面直径，若 $A B = 2, ∠ A S B = \frac{π}{3}$ ，则该圆锥的外接球的表面积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{16 π}{3}$ C、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{3}$ D、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$

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14、已知直线 $a x - b y - 2 = 0$ 与曲线 $y = x^{3}$ 在点 $P (1, 1)$ 处的切线互相垂直，则 $\frac{a}{b}$ 为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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15、下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0, 1)$ 上是严格减函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x}$ B、 $y = - x^{3}$ C、 $y = lg x$ D、 $y = sin x$

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16、已知函数 $f (x) = \sin x - x + 1$ ，若关于x的不等式 $f (a x e^{x}) + f (- a e^{x} - x + 2) > 2$ 的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为.

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17、已知随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ \leq 1) = P (ξ \geq a)$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{9}{a - x} (0 < x < a)$ 的最小值为（）

A、5 B、 $\frac{11}{2}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{16}{3}$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $∠ A D C = ∠ B C D = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $C D = \sqrt{3}$ ， $P D = 2$ ， $∠ P D A = 60 °$ ， $∠ P A D = 30 °$ ，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD，在平面ABCD内过B作 $B O ⊥ A D$ ，交AD于O，连PO.

(1)、求证： $P O ⊥$ 平面ABCD；

(2)、求面APB与面PBC所成角的正弦值；

(3)、在线段PA上存在一点M，使直线BM与平面PAD所成的角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求PM的长.

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19、在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ A_{1} A D = ∠ B A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， E为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点．

(1)、用向量 $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A A_{1}}$ 表示 $\vec{A E}$ ；

(2)、求线段 $A E$ 的长；

(3)、求异面直线 $A E$ 与 $B D$ 所成的角．

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20、甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求

(1)、分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；

(2)、分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；

(3)、求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率．

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x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7