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相关试卷

1、如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为 $m$ ，圆柱的表面积与球的表面积之比为 $n$ ，则 ${(\frac{n}{m} x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}$ 的展开式中的常数项是（）

A、 $- 15$ B、 $- 20$ C、15 D、20

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2、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，虚轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，离心率为 $\sqrt{2}$ ，过 $C$ 的左焦点 $F_{1}$ 作直线 $l$ 交 $C$ 的左支于A、B两点.

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、若 $|A F_{1}| = 4 \sqrt{2}$ ，求 $∠ F_{1} A F_{2}$ 的余弦值；

(3)、若 $M (- 2, 0)$ ，试问：是否存在直线 $l$ ，使得点 $M$ 在以 $A B$ 为直径的圆上？请说明理由.

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3、如图，在四棱锥P﹣ABCD中， $P A$ ⊥底面 $A B C D$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2 ， A B = 1$ ，点E为棱 $P C$ 的中点．

(1)、证明： $B E ⊥ D C$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $A - B D - P$ 的余弦值．

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4、分别写出满足下列条件的直线方程（用一般式表示）

(1)、经过点 $A (3, 2)$ ，且与直线 $2 x + y - 5 = 0$ 垂直

(2)、经过两直线 $2 x + y - 8 = 0$ 与 $x - 2 y + 1 = 0$ 的交点，且与直线 $2 x - 3 y - 6 = 0$ 平行

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5、如图，已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线 $C_{:} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左、右焦点， $P, Q$ 为双曲线 $C$ 上两点，满足 $F_{1} P ∥ F_{2} Q$ ，且 $|F_{2} Q| = |F_{2} P| = 3 |F_{1} P|$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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6、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A ､ B$ 两点，若 $|B F| = 3 |A F|$ ，则直线 $l$ 的方程为.

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7、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{m} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ 上的一点P到椭圆一个焦点的距离为4，到另一焦点距离为8，则m等于.

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8、已知点 $M (- 1, 0)$ 在抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x$ （ $p > 0$ ）的准线上，过抛物线 $C$ 的焦点 $F$ 作直线 $l$ 交 $C$ 于 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ 两点，则（）

A、抛物线 $C$ 的方程是 $y^{2} = 4 x$ B、 $y_{1} y_{2} = - 4$ C、当 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ 时， $|A B| = 9$ D、 $∠ A M F = ∠ B M F$

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9、圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 和圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y = 0$ 的交点为 $A, B$ ，则有（）

A、公共弦 $A B$ 所在直线方程为 $x + y = 0$ B、线段 $A B$ 中垂线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、公共弦 $A B$ 的长为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $P$ 为圆 $O_{1}$ 上一动点，则 $P$ 到直线 $A B$ 距离的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (0, 1, 1)$ ， $\vec{c} = (1, 2, 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ B、 $\vec{c} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2})$ D、向量 $\vec{c}$ 与向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 共面

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11、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $P (a, b)$ 和 $F$ 所连线段的中点在椭圆 $C$ 上，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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12、过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点F的直线交该抛物线于 $A, B$ 两点，若 $A, B$ 两点的横坐标之和为3，则 $|A B| =$ （）

A、5 B、 $\frac{14}{3}$ C、 $\frac{13}{3}$ D、4

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13、“ $1 < m < 3$ ”是“方程 $\frac{x^{2}}{m - 1} + \frac{y^{2}}{3 - m} = 1$ 表示椭圆”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{5} = 1$ 的焦点坐标是（）

A、 $(0, - 1), (0, 1)$ B、 $(0, - 3), (0, 3)$ C、 $(- 1, 0), (1, 0)$ D、 $(- 3, 0), (3, 0)$

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15、已知圆 $C_{1}$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 m x + m^{2} - 36 = 0$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$ ，若圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 有且仅有一条公切线，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $\pm 2 \sqrt{2}$ B、 $\pm \sqrt{3}$ C、 $\pm 2 \sqrt{3}$ D、 $\pm 2$

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16、方程 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + 5 m = 0$ 表示圆，则 $m$ 的范围是（）

A、 $m > 1$ B、 $m < 1$ C、 $m \geq 1$ D、 $m \leq 1$

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17、若直线 $y = \sqrt{3} x - 3$ 的倾斜角为 $α$ ，则 $α =$ （）

A、 $0^{o}$ B、 $60^{o}$ C、 $90^{o}$ D、 $180^{o}$

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18、若平面 $α, β$ 的法向量分别为 $\vec{a} = (2, - 1, 0), \vec{b} = (- 1, - 2, 0)$ ，则 $α$ 与 $β$ 的位置关系是（）

A、平行 B、垂直 C、相交但不垂直 D、无法确定

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19、不等式 $x^{2} - a x - b < 0$ 的解集是 ${x | 2 < x < 3}$ ，则 $a x^{2} - b x + 1 < 0$ 的解集是（）

A、 ${x | 2 < x < 3}$ B、 ${x | - 1 < x < - \frac{1}{5}}$ C、 ${x | - \frac{1}{2} < x < - \frac{1}{3}}$ D、 ${x | \frac{1}{5} < x < 1}$

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20、设函数 $f (x) = 2 e^{x} + 2 sin x - (a + 1) x$ .

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值；

(2)、若 $g (x)$ 与 $f (x)$ 关于 $y$ 轴对称，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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