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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $c + c \cos A = \sqrt{3} a \sin C$ ， $a = 2$ ．

(1)、求角A；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，求 $b + c$ 的取值范围；

(3)、若 $△ A B C$ 的面积 $S \in (0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， E为线段BC上一点，且存在 $λ > 0$ ，使得 $\vec{A E} = λ (\frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{|\vec{A C}|})$ ，求AE长度的取值范围．

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2、如图所示，正四棱锥 $P - A B C D$ ， $P A = 1$ ，底面边长 $A B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， M为侧棱PA上的点，且 $P M = 3 M A$ ．

(1)、求正四棱锥 $P - A B C D$ 的体积；

(2)、若 $S$ 为 $P B$ 的中点，证明： $P D //$ 平面 $S A C$ ；

(3)、侧棱 $P D$ 上是否存在一点E，使 $C E //$ 平面 $M B D$ ，若存在，求出 $\frac{P E}{E D}$ ；若不存在，请说明理由．

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3、已知 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $cos A = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $2 sin (A - C) = sin B$ ．

(1)、求角C；

(2)、设 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 3)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ， $\vec{c} = (2, - 1)$ ．

(1)、若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 所成角为钝角，求x的取值范围；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{c} - \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量（结果用坐标表示）．

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5、设复数 $z_{1} = 2 - a i (a \in R)$ ， $z_{2} = 1 + i$ ．

(1)、若 $z_{1} + z_{2}$ 是实数，求 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ ；

(2)、若 $z_{1} z_{2}$ 是纯虚数，求 $z_{1}$ 的共轭复数．

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6、已知 $△ A B C$ 为等边三角形，线段MN的中点为A，且 $A B = M N = 1$ ，则 $\vec{B M} \cdot \vec{C N}$ 的取值范围是．

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7、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sin A = \frac{a}{2} \cos \frac{C}{2}$ ， $c = 2$ ，则 $△ A B C$ 面积的最大值为．

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8、已知 ${\vec{e}}_{1}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为两个不共线的向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = 3 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ ，则 $\vec{a} - 2 \vec{b} =$ （用 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 表示）

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9、任意一个复数z都可写成复数的三角形式，即 $z = a + b i = r (\cos θ + i \sin θ)$ ， $r = | z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}} \geq 0$ ， $θ \in [0, 2 π)$ ．棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗创立．设两个复数用三角函数形式表示为 $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ， $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ ，则 $z_{1} z_{2} = r_{1} r_{2} [\cos (θ_{1} + θ_{2}) + i \sin (θ_{1} + θ_{2})]$ （）

A、 $- 1 + i = \sqrt{2} (\cos \frac{3π}{4} + i \sin \frac{3π}{4})$ B、 $ω_{0}$ 是方程 $ω^{3} = 1$ 的虚数根，则 $ω_{0}^{2} = \bar{ω_{0}}$ C、 $| z | = 1$ ，则 $|z^{2} + z + 1|$ 的范围为 $[\frac{3}{4}, 3]$ D、满足 $z^{2025} = {(z + 1)}^{6} = 1$ 的复数z有且只有2个

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10、已知圆锥的底面半径为8，母线长为10，则下列说法正确的是（）

A、其侧面展开图为一扇形，且圆心角为 $\frac{8π}{5}$ B、该圆锥表面积为 $80π$ C、该圆锥的体积为 $128π$ D、过该圆锥顶点的截面面积的最大值为50

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11、如图，正四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，下列说法正确的是（）

A、 $A_{1} D$ 和 $B C_{1}$ 异面 B、 $B B_{1}$ 和 $D D_{1}$ 共面 C、平面 $A_{1} B D //$ 平面 $C C_{1} D_{1}$ D、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $C B_{1} D_{1}$ 相交

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12、已知正方体的棱长为1，A，B，C，D为该正方体上四个不共面的顶点，则四面体ABCD内切球的半径最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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13、已知复数 $z = 2 + i$ 是关于x的方程 $x^{2} + m x + n = 0 (m, n \in R)$ 的一个根，则 $|m + n i|$ 等于（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\sqrt{41}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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14、给出下列命题，正确的是（）

A、 $\vec{a} = \vec{b}$ 的充要条件是 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ 且 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则它们的起点和终点均相同 C、若存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{a} = λ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{b}$ D、若 $A, B, C, D$ 是平面内的四点，且 $\vec{A B} = \vec{D C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点一定能构成平行四边形

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15、在三角形 $A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $(2 a - c) \cos B = a - b \cos C$ ，则三角形 $A B C$ 的形状为（）

A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰或直角三角形

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16、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ， $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{3}$ ，若 $\vec{a} ⊥ (λ \vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $λ =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、1 C、 $- \frac{4}{3}$ D、2

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17、如图，已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图中， $A^{'} C^{'} = 3$ ， $B^{'} C^{'} = 2$ ，那么 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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18、已知复数 $z = 5 - 6 i$ ，则z在复平面内对应的点为（）

A、 $(5, 6)$ B、 $(5, - 6)$ C、 $(5, 6 i)$ D、 $(5, - 6i)$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} - 3 x, x \geq 0 \\ g (x), x < 0 \end{cases}$ 是定义在 $R$ 上的偶函数，则 $g (- 4) =$ .

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20、我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} e x^{2} + {(x - 1)}^{2}$ ，则下列给出的函数其图象与 $y = f (x)$ 的图象“相似”的是（）

A、 $y = x^{2}$ B、 $y = - x^{2}$ C、 $y = x^{3} - 3 x$ D、 $y = - x^{3} + 3 x$

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