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相关试卷

1、经过点 $(- 2, 4)$ 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（）

A、 $x - y + 6 = 0$ B、 $2 x - y + 8 = 0$ C、 $2 x + y = 0$ 或 $x - y + 6 = 0$ D、 $2 x + y = 0$ 或 $2 x - y + 8 = 0$

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2、已知动点 $Q$ 在 $△ A B C$ 所在平面内运动，若对于空间中任意一点 $P$ ，都有 $\vec{P Q} = - 2 \vec{P A} + 4 \vec{P B} + m \vec{P C}$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、0 C、 $- 1$ D、1

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3、某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0 $\sim$ 9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）

A、0.9 B、0.8 C、0.7 D、0.6

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4、直线 $x + y - \sqrt{3} = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $45 °$ B、 $- 45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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5、已知点 $P$ 和非零实数 $λ$ ，若两条不同的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点 $P$ ，且斜率之积为 $λ$ ，则称直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $P_{λ}$ 共轭线对”，如直线 $l_{1} : y = 2 x$ ， $l_{2} : y = - \frac{1}{2} x$ 是一组“ $O_{- 1}$ 共轭线对”，其中 $O$ 是坐标原点．规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．

(1)、已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 均过点 $M (1, 2)$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $M_{2}$ 共轭线对”，且 $l_{1}$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求 $l_{2}$ 的一般式方程；

(2)、已知 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是一组“ $O_{- 3}$ 共轭线对”，求 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的夹角的最小值；

(3)、已知点 $Q (- 1, - \sqrt{2})$ ，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 是“ $Q_{- 2}$ 共轭线对”，当 $l_{1}$ 的斜率变化时，求原点 $O$ 到直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的距离之积的取值范围．

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6、如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面是边长为2的等边三角形， $C C_{1} = 2$ ， $D, E$ 分别是线段 $A C, C C_{1}$ 的中点， $C_{1}$ 在平面 $A B C$ 内的射影为 $D$ ．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B D E$ ；

(2)、若点 $F$ 为线段 $B_{1} C_{1}$ 上的动点（不包括端点），求平面 $F B D$ 与平面 $B D E$ 夹角的余弦值的取值范围．

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7、如图，四边形 $A B C D$ 是矩形，四边形 $A B E F$ 是梯形， $B E / / A F ， B E ⊥ E F ， ∠ B A F = 30^{\circ}$ ，平面 $A B C D$ 与平面 $A B E F$ 互相垂直， $B F = 2, A F = 4$ ．

(1)、求证： $B F ⊥ A C$ ．

(2)、若二面角 $C - A F - B$ 为 $\frac{π}{6}$ ，求多面体 $A B C D E F$ 的体积．

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8、已知空间中三点 $A (2, 0, - 2)$ ， $B (1, - 1, - 2)$ ， $C (3, 0, - 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{A B}$ ， $\vec{b} = \vec{A C}$ ．

(1)、已知向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 互相垂直，求 $k$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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9、在菱形 $A B C D$ 中， $A = \frac{π}{3}, A B = 2$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离最大，此时四面体 $A B C D$ 的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．

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10、有一光线从点 $A (- 3, 5)$ 射到直线 $l : 3 x - 4 y + 4 = 0$ 以后，再反射到点 $B (2, 15)$ ，则入射光线所在直线的方程为.

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11、设 $m \in R$ ，过定点 $A$ 的动直线 $x + m y + 1 = 0$ 和过定点 $B$ 的动直线 $m x - y - 3 m + 4 = 0$ 交于点 $P (x, y)$ ，则下列说法正确的是（）

A、平面上存在定点 $Q$ 使得 $P Q$ 的长度为定值 B、 $|P A| + |P B|$ 的最大值为 $8$ C、 $|P A| \cdot |P B|$ 的最大值为 $32$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离的最大值为 $2 \sqrt{2}$

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12、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）

A、直线 $B_{1} C$ 与直线 $B D_{1}$ 所成的角为 $90^{\circ}$ B、直线 $B_{1} C$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、四面体 $D_{1} - A B_{1} C$ 的体积为 $\frac{1}{3}$ D、点 $A$ 到平面 $D_{1} B_{1} C$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、下列结论错误的是（）

A、过点 $P (1, 2)$ 且在 $x$ ， $y$ 轴上的截距互为相反数的直线方程为 $x - y + 1 = 0$ B、直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 与直线 $2 x - 4 y + 1 = 0$ 之间的距离为 $\sqrt{5}$ C、已知点 $A (3, 1)$ ， $B (2, 3)$ ，点 $P$ 在 $y$ 轴上，则 $|P A| + |P B|$ 的最小值为 $\sqrt{29}$ D、已知两点 $A (- 3, 4)$ ， $B (3, 2)$ ，过点 $P (1, 0)$ 的直线 $l$ 与线段 $A B$ 没有公共点，则直线 $l$ 的斜率的取值范围是 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$

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14、已知直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a} = (- 1, 0, 1)$ ，点 $A = (1, 2, - 1)$ 在 $l$ 上，则点 $P = (2, - 1, 2)$ 到 $l$ 的距离为（）

A、 $\sqrt{15}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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15、我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为阳马， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，点 $E$ 是 $P C$ 边上一点，且 $E C = 2 P E$ ，若 $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A C} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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16、“ $a = 3$ ”是“直线 $a x + 2 y + 3 a = 0$ 和直线 $3 x + (a - 1) y - (a - 7) = 0$ 平行且不重合”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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17、若 $sin (\frac{π}{4} - α) = \frac{1}{3}$ ，则 $sin 2 α =$ （）

A、 $\frac{7}{9}$ B、 $- \frac{4 \sqrt{2}}{9}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{9}$

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18、已知 $a = 3^{0.4}$ ， $b = {0.4}^{3}$ ， $c = {log}_{0.4} 3$ ，则（）

A、 $b < c < a$ B、 $c < b < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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19、已知 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1, - 1)$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则（）

A、 $z \cdot \bar{z} = 1$ B、 $z - \bar{z} = 2 i$ C、 $z + \bar{z} = - 2 i$ D、 $\bar{z} = z i$

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20、对于定义域为 $I$ 的函数，如果存在区间 $[m, n] \subseteq I$ ，同时满足下列两个条件：
① $f (x)$ 在区间 $[m, n]$ 上是单调的；
②当定义域是 $[m, n]$ 时， $f (x)$ 的值域也是 $[m, n]$ ，则称 $[m, n]$ 是函数 $y = f (x)$ 的一个“黄金区间”.

(1)、请证明：函数 $y = 1 - \frac{3}{x} (x > 0)$ 不存在“黄金区间”；

(2)、已知函数 $y = x^{2} - 4 x + 6$ 在 $R$ 上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”；

(3)、如果 $[m, n]$ 是函数 $y = \frac{(a^{2} + a) x - 2}{a^{2} x} (a \neq 0)$ 的一个“黄金区间”，请求出 $n - m$ 的最大值.

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