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相关试卷

1、已知复数 $z$ 满足 $z + 2 \bar{z} = 3 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $1 - i$ C、 $2 + i$ D、 $2 - i$

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2、已知集合 $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 4 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 4\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{0, 1, 4\}$

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3、直线 $\sqrt{3} x - 3 y - 1 = 0$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4、已知椭圆T： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $E (3, 0)$ ，直线l： $x + 3 y - 13 = 0$ 与椭圆T相切．

(1)、求椭圆T的方程；

(2)、过点 $P (\frac{25}{3}, t) (0 < t < b)$ 作与x轴平行的直线交椭圆T于M，N两点，直线PE与y轴交于点Q，证明：M，N，E，Q四点共圆．

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 $a = b$ ， $\frac{2 \sqrt{3}}{3} - \frac{c}{b} = \frac{\cos C}{\cos B}$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $9 π$ ，角B的平分线交AC于D，求 $△ B C D$ 的面积．

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6、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $A B = 4$ ， $P C = P D = 3$ ， $∠ P C A = 45 °$ ，则四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为．

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7、已知F是抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的焦点，l是C的准线，N是C上一点，过点N作l的垂线，垂足为P，若 $|P F| = |P N|$ ，则 $△ P F N$ 的面积为．

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8、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 分别为C的左、右顶点，以 $F_{1} A_{2}$ 为直径的圆与以 $A_{1} F_{2}$ 为直径的圆交于 $M, N$ 两点，若 $|M N| = \frac{1}{2} |F_{1} F_{2}|$ ，则C的离心率为（）

A、2 B、4 C、 $\sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (1, - 2)$ ， $\vec{b} = (2 x, x - 1)$ ，且 $\vec{a} // (\vec{b} - \vec{a})$ ，则 $x =$ （）

A、5 B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{1}{4}$

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10、已知空间中三点 $A (0, 1, 0)$ ， $B (2, 2, 0)$ ， $C (- 1, 3, 1)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{A C}$ 是共线向量 B、与 $\vec{A B}$ 同向的单位向量是 $(\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ C、 $\vec{A B}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值是 $\frac{\sqrt{55}}{11}$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(1, - 2, 5)$

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11、定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ，那么称 $d (A, B) = |x_{1} - x_{2}| + |y_{1} - y_{2}|$ 为A，B两点间的曼哈顿距离.

(1)、已知A，B两个点的坐标为 $A (x, 2)$ ， $B (1, x)$ ，如果它们之间的曼哈顿距离不大于5，那么 $x$ 的取值范围是多少？

(2)、已知A，B两个点的坐标为 $A (a, x)$ ， $B (x, - 3)$ ，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于3，那么 $a$ 的取值范围是多少？

(3)、若点 $A (x, y)$ 在函数 $y = 2^{x}$ 图象上且 $x \in Z$ ，点 $B$ 的坐标为 $(1, 16)$ ，求 $d (A, B)$ 的最小值并说明理由.

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D, A B$ $∥$ $D C, D C ⊥ A C$ .

(1)、求证： $D C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $P C = A B = A C = 1$ ，求 $P B$ 与平面 $P A C$ 成角的正弦值；

(3)、设点 $E$ 为 $A B$ 的中点，过点 $C, E$ 的平面与棱 $P B$ 交于点 $F$ ，且 $P A$ $∥$ 平面 $C E F$ ，求 $\frac{P F}{P B}$ 的值.

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13、如图，将边长为2的正方形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折成一个直二面角，且 $E A ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A E = a$ .

(1)、若 $a = 2 \sqrt{2}$ ，
（i）求证： $A B / /$ 平面 $C D E$ ；
（ii）求直线 $B C$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值；

(2)、求实数 $a$ 的值，使得二面角 $A - E C - D$ 的大小为60°.

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14、设函数 $f (x) = x^{2} + m \ln (x + 1) (m \in R)$ ．

(1)、若m＝－1，
①求曲线 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
②当 $x \in (1, + \infty)$ 时，求证： $f (x) < x^{3}$ .

(2)、若函数 $f (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 上存在唯一零点，求实数m的取值范围.

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15、如图，在三角形 $A B C$ 中， $∠ A = \frac{2 π}{3}$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $C D$ 平分 $∠ A C B$ 交 $A B$ 于点 $D$ ， $C D = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $∠ A D C$ 的值；

(2)、求 $B C$ 的长度；

(3)、求 $△ B C D$ 的面积．

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16、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ， $n \in N^{*}$ .数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，且 $b_{1} = - a_{1}, b_{2} + b_{4} = - 10$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n} + b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；

(3)、设 $C_{n} = a_{1} \cdot a_{3} \cdot \cdot \cdot a_{2 n - 1}$ ，且 $C_{n} = 4096$ ，求 $n$ .

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17、在几何体 $A B C D E F G H$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为6的正方形， $△ E A B$ ， $△ F B C$ ， $△ G C D$ ， $△ H D A$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $A B C D$ 垂直. $P$ 是线段 $G F$ 上的动点， $\vec{F P} = λ \vec{F G}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，求三棱锥 $B - E F P$ 的体积；

(2)、若平面 $A E H ⊥$ 平面 $B E P$ ，求 $λ$ 的值.

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18、在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ， $A D = \frac{2}{3} A B$ ，点 $E$ 在边 $D C$ 上，满足 $\vec{D E} = \frac{1}{3} \vec{D C}$ ，若 $A B = 3$ ，点 $M, N$ 分别为线段 $A B, B C$ 上的动点，满足 $|\vec{B M}| + |\vec{B N}| = 1$ ，则 $\vec{E M} \cdot \vec{E N}$ 的最小值为.

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19、已知 $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ ， $g (x) = \{\begin{matrix} f (x), x \geq 0 \\ f (- x), x < 0 \end{matrix}$ ，则方程 $g (x) = 3 x - 3$ 不同解的个数为．

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20、已知 $sin (α - \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $sin (2 α - \frac{π}{6}) =$ .

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