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相关试卷

1、已知集合 $A = \{1, 2, 3\}$ ， $B = \{x |x^{2} < 9\}$ ，则 $A \cap B =$ ．

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2、已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - e^{\cos x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的一个周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上单调递增 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上有且仅有一个极值点

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3、下列说法正确的是（）

A、若不等式 $a x^{2} + 2 x + c < 0$ 的解集为 $\{x | x < - 1$ 或 $x > 2\}$ ，则 $a + c = 2$ B、若命题p： $\forall x \in (0, + \infty)$ ， $x - 1 > \ln x$ ，则p的否定为： $\exists x \in (0, + \infty)$ ， $x - 1 < \ln x$ C、在△ABC中，“ $\sin A + \cos A = \sin B + \cos B$ ”是“ $A = B$ ”的充要条件 D、若 $m x^{2} + 3 x + 2 m < 0$ 对 $\forall m \in [0, 1]$ 恒成立，则实数x的取值范围为 $(- 2, - 1)$

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4、若复数 $z$ 满足 $z + i^{2023} = \frac{2 - i}{2}$ （其中 $i$ 为虚数单位），则下列说法正确的是（）

A、 $|z| = \frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $z$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点在第四象限 C、 $z$ 的虚部为 $\frac{i}{2}$ D、 $z^{2} = \frac{5}{4} + i$

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5、定义：在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $\frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1}} - \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = d (n \in N^{*})$ ，其中 $d$ 为常数，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“等比差”数列．已知“等比差”数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 3$ ，则 $\frac{a_{24}}{a_{22}} =$ （）

A、1763 B、1935 C、2125 D、2303

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6、若函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{a}{2} x^{2} + x + 1$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 3)$ 内有极值点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(2, \frac{5}{2})$ B、 $[2, \frac{5}{2})$ C、 $(2, \frac{10}{3})$ D、 $[2, \frac{10}{3})$

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的 $a$ 值为（）

A、 $- 1$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $- \sqrt{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

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8、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $a_{3} + a_{7} = 18$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} = 21$ ，则 $S_{8} =$ （）

A、32 B、64 C、80 D、128

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9、已知向量 $\vec{a} = (\log_{2} 3, \sin \frac{4 π}{3})$ ， $\vec{b} = (\log_{3} 8, m)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2 \sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

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10、已知直线 $l$ 、 $m$ 、 $n$ 与平面 $α$ 、 $β$ ，下列命题正确的是（）

A、若 $α / / β$ ， $l \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $l / / n$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l \subset α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $l ⊥ n$ ， $m ⊥ n$ ，则 $l / / m$ D、若 $l ⊥ α$ ， $l / / β$ ，则 $α ⊥ β$

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11、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、方程 $y - 3 = k (x + 2)$ 表示过点 $(- 2, 3)$ 的所有直线 C、当点 $P (3, 2)$ 到直线 $m x - y + 1 - 2 m = 0$ 的距离最大时， $m$ 的值为 $- 1$ D、已知直线 $l$ 过定点 $P (1, 0)$ 且与以 $A (2, - 3)$ 、 $B (- 3, - 2)$ 为端点的线段有交点，则直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围是 $(- \infty, - 3] \cup [\frac{1}{2}, + \infty)$

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12、已知圆锥的侧面展开图是圆心角为 $\frac{π}{2}$ 且弧长为 $2 π$ 的扇形，则该圆锥的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{3} π$ D、 $\frac{3 \sqrt{2}}{3} π$

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13、某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下关系： $W (x) = \{\begin{array}{l} 5 (x^{2} + 3), 0 \leq x \leq 2 \\ \frac{50 x}{1 + x}, 2 < x \leq 5 \end{array}$ ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 $f (x)$ （单位：元）

(1)、写单株利润 $f (x)$ （元）关于施用肥料x（千克）的关系式；

(2)、当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?

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14、已知幂函数 $f (x) = x^{m^{2} + 2 m - 3} (m \in Z)$ 是偶函数，且 $f (x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上是增函数，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、0 D、3

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15、已知有限集 $A = \{a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}\} (n \geq 2, n \in N)$ ，如果 $A$ 中的元素 $a_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ 满足 $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} \times a_{2} \times \dots \times a_{n}$ ，就称 $A$ 为“完美集”.

(1)、判断：集合 $\{- 1 - \sqrt{3}, - 1 + \sqrt{3}\}$ 是否是“完美集”并说明理由；

(2)、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 是两个不同的正数，且 $\{a_{1}, a_{2}\}$ 是“完美集”，求证： $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 至少有一个大于 $2$ ；

(3)、若 $a_{i}$ 为正整数，求：“完美集” $A$

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16、设 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 是两个等差数列，记 $c_{n} = \max {b_{1} - a_{1} n, b_{2} - a_{2} n, \cdot \cdot \cdot, b_{n} - a_{n} n}$ $(n = 1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot)$ ，
其中 $\max {x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}}$ 表示 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{s}$ 这 $s$ 个数中最大的数．
（Ⅰ）若 $a_{n} = n$ ， $b_{n} = 2 n - 1$ ，求 $c_{1}, c_{2}, c_{3}$ 的值，并证明 ${c_{n}}$ 是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数 $M$ ，存在正整数 $m$ ，当 $n \geq m$ 时， $\frac{c_{n}}{n} > M$ ；或者存在正整数 $m$ ，使得 $c_{m}, c_{m + 1}, c_{m + 2}, \cdot \cdot \cdot$ 是等差数列．

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17、如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别为 $A B$ ， $A C$ 的中点，将 $△ A E F$ 沿 $E F$ 翻折到 $△ D E F$ 位置.

(1)、证明： $平面 B C D ⊥ 平面 B D E$ ；

(2)、若 $D B = E B$ ，求平面DEF与平面DEC夹角的余弦值.

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，左顶点为 $A$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，且经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $F$ 的直线 $l$ （不与 $x$ 轴重合）与 $C$ 交于 $P, Q$ 两点，直线 $A P, A Q$ 与直线 $x = 4$ 的交点分别为 $M, N$ ，记直线 $M F, N F$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，证明： $k_{1} \cdot k_{2}$ 为定值．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{3} = 6$ ，且 $a_{n} = a_{n - 1} + λ n (n \geq 2)$ ．则数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前n项_和为

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20、在 ${(x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为．

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