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相关试卷

1、已知点 $A (0, - \sqrt{3}), B (0, \sqrt{3})$ ，曲线 $E$ 上的点 $M$ 与 $A, B$ 两点的连线的斜率分别为 $k_{A M}$ 和 $k_{B M}$ ，且 $k_{A M} \cdot k_{B M} = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求曲线 $E$ 的方程；

(2)、是否存在一条直线 $l$ 与曲线 $E$ 交于 $P, Q$ 两点，以 $P Q$ 为直径的圆经过坐标原点 $O$ ．若存在，求出 $\frac{1}{{|O P|}^{2}} + \frac{1}{{|O Q|}^{2}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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2、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x - \sin 2 x - \sqrt{3} \sin^{2} x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $f (x_{0}) = \frac{8}{5}$ ， $x_{0} \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $\cos 2 x_{0}$ 的值.

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3、如图，已知 $B C = 3$ ， $D, E$ 为 $△ A B C$ 边 $B C$ 上的两点，且满足 $∠ B A D = ∠ C A E, \frac{B D \cdot B E}{C D \cdot C E} = \frac{1}{9}$ ，则当 $∠ A C B$ 取最大值时， $△ A B C$ 的面积等于.

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4、若 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} + a x$ 在 $[- 1, + \infty)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围为．

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5、已知随机变量 $X \sim N (3, σ^{2})$ ，若 $P (3 \leq X \leq 5) = 0.3$ ，则 $P (X \leq 1) =$ ．

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6、已知数列 ${a_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列，且 $a_{1} > 0$ ，则下列叙述中正确的是（）

A、若 $a_{1} + a_{4} = a_{2} + a_{3}$ ，则 $q = \pm 1$ B、若 $a_{2} = ln a_{1} + ln a_{3}$ ，则 $q < 0$ C、若 $2 a_{3} = e^{a_{1}} + e^{a_{2}}$ ，则 $q > 1$ D、若 $0 < a_{1} < 1$ ，且 $a_{1} + a_{2} + a_{3} = ln (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4})$ ，则 $q > 1$

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7、如图抛物线 $Γ_{1}$ 的顶点为 $A$ ，焦点为 $F$ ，准线为 $l_{1}$ ，焦准距为 $2$ ；抛物线 $Γ_{2}$ 的顶点为 $B$ ，焦点也为 $F$ ，准线为 $l_{2}$ ，焦准距为 $3$ ． $Γ_{1}$ 和 $Γ_{2}$ 交于 $P, Q$ 两点，分别过 $P, Q$ 作直线与两准线垂直，垂足分别为 $M, N, S, T$ ，过 $F$ 的直线与封闭曲线 $A P B Q$ 交于 $C, D$ 两点，则下列说法正确的是（）

A、 $|A B| = 5$ B、四边形 $M N S T$ 的面积为 $20 \sqrt{6}$ C、 $\vec{F S} \cdot \vec{F T} = 0$ D、 $|C D|$ 的取值范围为 $[\frac{5}{2}, \frac{25}{6}]$

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8、已知 $a > e, b > e$ ，且 $a (1 + ln b) = (1 + e b) ln a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数，则下列结论正确的是（）

A、 $ln a - ln b < 1$ B、 $a e < b$ C、 $a b < e^{3}$ D、 $2^{ln a} + 2^{ln b} > 6$

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9、方程 $\cos (\frac{π}{2} \sin x) = \sin (\frac{π}{2} \cos x)$ 在 $[0, π]$ 上的实数解有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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10、已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $E$ 是棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $A B_{1} E$ 将长方体分割成两部分，则体积较大部分与体积较小部分的体积之比为（）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $2$ C、 $\frac{17}{7}$ D、 $\frac{24}{7}$

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11、若 $\vec{a} = (- 2, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (2cos \frac{π}{3},2sin \frac{π}{3})$ ，下列正确的是（）

A、 $\vec{b} / / (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{b} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ C、 $\vec{a}$ $在$ $\vec{b}$ 方向上的投影向量是 $\frac{1}{4} \vec{b}$ D、 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$

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12、若直线 $l : y = k x (k > 0)$ 与双曲线 $C : \frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, + \infty)$ C、 $(0, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ D、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, + \infty)$

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13、若复数 $z$ 的实部大于0，且 $z (\bar{z} + 1) = 6 - 2 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $- 1 - 2 i$ C、 $- 1 + 2 i$ D、 $1 + 2 i$

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14、已知集合 $A = \{x ||x - 1| < 3, x \in Z\}$ ， $B = \{x |y = \ln (x - 1)\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${- 2, - 1, 0, 1, 2}$ B、 ${- 1, 0, 1}$ C、 ${- 2, - 1, 0, 1}$ D、 ${- 2, - 1, 0}$

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15、甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；

(2)、如果比赛采用五局三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）进行比赛，求比赛的局数X的分布列和期望；

(3)、如果每局比赛甲获胜的概率为 $p (0 < p < 1)$ ，乙获胜的概率为 $q (q = 1 - p)$ ，比赛的赛制有五局三胜制和三局两胜制两种选择，请问对于甲选手来说，该如何选择比赛赛制对自己更有利，请说明理由，由此你能得出什么结论．

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16、如图，在四棱锥 $P － A B C D$ 中， $A D ⊥ C D ， A D ⊥ A B ， ∠ B C D = 45 ° ，$ $A D = 1 ，$ $B C = \sqrt{2}$ ， $P D ⊥ A D$ .现设 $P D = t ， C D = 4 － t ， 0 ＜ t ＜ 3$ .

(1)、求证：平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、当 $t = 1$ 时，侧棱PC上点M满足 $B M = \sqrt{2}$ ， $∠ A B M = 45 ° .$ 证明：M是侧棱 $P C$ 的中点；

(3)、当 $∠ P D C = 120 °$ 时，求三棱锥 $P － B C D$ 的外接球体积的最小值.

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17、已知向量 $\vec{m} = (\sin (\frac{π}{4} + x), \sqrt{3} \sin x)$ ， $\vec{n} = (\sin (\frac{π}{4} - x), \cos x)$ ，设函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n}$ .

(1)、化简 $f (x)$ 并写出 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、若 $f (\frac{π}{12} + \frac{α}{2}) = - \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，且 $\frac{5 π}{6} < α < π$ ，求 $\sin α$ 的值；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (\frac{A}{2}) = 1$ ， $A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18、2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是 $\frac{9}{32}$ ，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是 $\frac{19}{24}$ .各家庭回答是否正确相互独立.

(1)、求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；

(2)、求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.

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19、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，已知 $A C ⊥ B C$ ， $B C = C C_{1}$ ，设 $A B_{1}$ 的中点为D， $B C_{1}$ 的中点为E.求证：

(1)、 $D E / /$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ；

(2)、 $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

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20、已知复数 $z = m - i$ （ $m \in R$ ），且 $\bar{z} \cdot (1 + 3 i)$ 为纯虚数（ $\bar{z}$ 是 $z$ 的共轭复数）.

(1)、设复数 $z_{1} = \frac{m + 2 i}{1 - i}$ ，求 $|z_{1}|$ ；

(2)、复数 $z_{2} = \frac{a - i^{2025}}{z}$ 在复平面内对应的点在第一象限，求实数 $a$ 的取值范围.

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