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相关试卷

1、已知点 $K$ 为三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱 $A_{1} B_{1}$ 上一点，经过顶点 $A, C$ 及点 $K$ 的平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则 $\frac{A_{1} K}{B_{1} K}$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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2、已知三个电流瞬时值的函数表达式为 $I_{1} (t) = sin t$ ， $I_{2} (t) = sin (t + φ), I_{3} (t) = sin (t + 2 φ), φ \in (0, π)$ ，它们合成后的电流瞬时值的函数为 $I (t) = I_{1} (t) + I_{2} (t) + I_{3} (t)$ 的部分图象如图所示，则 $I (t)$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3、记等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{n} = a \cdot 2^{n} - 4$ ，则 $a_{1} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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4、若 ${(\frac{1}{x \sqrt{x}} + \frac{x}{3})}^{n}$ 展开式中的第2项与第3项的系数相等，则 $n$ 的值为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (4, 3)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上投影向量为（）

A、 $(\frac{4}{5}, \frac{3}{5})$ B、 $(\frac{8}{5}, \frac{6}{5})$ C、 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5}, \frac{3 \sqrt{5}}{5})$ D、 $(\frac{8 \sqrt{5}}{5}, \frac{6 \sqrt{5}}{5})$

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6、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的两条渐近线相互垂直，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、3

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7、若虚数 $z$ 满足 $z (2 + i) = 2 - i$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8、已知集合 $A = \{x ∣ x^{2} < 3\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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9、已知圆M经过点 $A (- 2, 0)$ ， $B (0, 4)$ ， $C (0, 0)$ ，则圆M的标准方程为．

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10、在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、3

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11、如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点， $O$ 为 $D E$ 的中点，满足 $A B = A C = 2 \sqrt{5}, B C = 4$ .将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A D E$ 的位置，使得平面 $A_{1} D E ⊥$ 平面 $B C E D$ ，如图2.

(1)、求证： $A_{1} O ⊥$ 平面 $B C E D$ ；

(2)、求直线 $A_{1} C$ 和平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值；

(3)、线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $F$ ，使得直线 $D F$ 和 $B C$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ ？若存在，求出 $\frac{A_{1} F}{F C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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12、已知圆 $M : {(x + a)}^{2} + {(y - a)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的圆心 $M$ 在直线 $y = x$ 上，且直线 $3 x + 4 y + 15 = 0$ 与圆 $M$ 相切.

(1)、求圆 $M$ 的方程；

(2)、设圆 $M$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点，点 $P$ 在圆 $M$ 内，且 $| P M |^{2} = |P A| \cdot |P B|$ .记直线 $P A, P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，求 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的取值范围.

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13、如图，在底面为平行四边形的四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ⊥ A C, P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P A = A B = A C = 1$ ，点 $E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $A C ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $E - A C - B$ 的大小.

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14、在平面直角坐标系中，直线 $l$ 的方程为 $(a + 1) x - y + 4 a = 0, a \in R$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求过点 $(1, 0)$ 且与直线 $l$ 平行的直线方程；

(2)、若直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8$ 相切，求 $a$ 的值.

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15、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $A B$ 的垂直平分线的方程为.

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16、若 $\vec{a} = (1, 0, 1), \vec{b} = (0, 2, 2)$ ，则 $sin ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ =$ .

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17、如图所示，以长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的顶点 $D$ 为坐标原点，过 $D$ 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 $\vec{D B_{1}}$ 的坐标为 $(3, 4, 2)$ ，则四棱锥 $B_{1} - A B C D$ 的体积为.

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18、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{B P} = λ \vec{B C} + μ \vec{B B_{1}}$ ，且 $λ \in [0, 1], μ \in[0, 1]$ ，则（）

A、当 $λ = 1$ 时， $|A_{1} P| + |P B|$ 的最小值为 $\sqrt{5}$ B、当 $μ = 1$ 时，三棱锥 $P - A_{1} B C$ 的体积为定值 C、当 $λ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} P ⊥ B P$ D、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$ ，使得 $A_{1} B ⊥$ 平面 $A B_{1} P$

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19、下列说法正确的是（）

A、若直线的一个方向向量为 $(2, 3)$ ，则该直线的斜率为 $k = \frac{3}{2}$ B、“ $a = 1$ ”是“直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x + a y - 2 = 0$ 互相垂直”的充要条件 C、圆 $C : {(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 10$ 与 $x$ 轴相交于 $A, B$ 两点，则 $|A B| = 6$ D、圆 $C_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系为内切

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20、下列说法命题正确的是（）

A、在空间直角坐标系中，已知点 $A (2, 3, - 5)$ ， $B (0, - 2, - 2)$ ， $C (- 2, - 5, 1)$ ，则 $A, B, C$ 三点共线 B、若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{e} = (3, 0, - 1)$ ，平面 $α$ 的法向量为 $\vec{n} = (- 9, 0, 3)$ ，则 $l ∥ α$ C、已知 $\vec{a} = (0, 1, 4)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 0, - 1)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \vec{b}$ D、已知三棱锥 $O - A B C$ ，点 $P$ 为平面 $A B C$ 上的一点，且 $\vec{O P} = \frac{1}{2} \vec{O A} + m \vec{O B} + n \vec{O C} (n, m \in R)$ ，则 $m + n = \frac{1}{2}$

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