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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面是正方形， $A B = 2, P A = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $P D = 2, M$ 是 $P A$ 中点，证明： $D M ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P D = 1$ ，求平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = - 1$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{3 a_{n}}{2 a_{n} + 1}$ .

(1)、求证：数列 $\{\frac{1}{a_{n}} - 1\}$ 为等比数列，并求出数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} < 10$ ，求满足条件的最大整数 $n$ .

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3、已知 $S_{n}$ 是等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $S_{11} = 33$ ，则 $3 a_{5} - a_{1} - a_{8} =$ .

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4、已知复数 $z = (1 - 2 i) (1 + i)$ ，则 $|z| =$ .

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5、某地区5家超市销售额 $y$ （单位：万元）与广告支出 $x$ （单位：万元）有如下一组数据：
超市
A
B
C
D
E
广告支出（万元）
1
4
6
10
14
销售额（万元）
6
20
36
40
48
下列说法正确的是（）
参考公式：样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \cdot \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}, \hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$

A、根据表中数据计算得到 $x$ 与 $y$ 之间的经验回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 8.3$ ，则 $\hat{b} = 3.1$ B、 $x$ 与 $y$ 之间的样本相关系数 $r = 3.1$ C、若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好 D、若该地区某超市的广告支出是3万元，则该超市的销售额一定是17.6万元

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6、若随机变量 $X \sim N (12, 9)$ ，则下列选项错误的是（）

A、 $P (X > 12) = 0.5$ B、 $P (X \leq 9) = P (X \geq 15)$ C、 $E (3 X - 1) = 35$ D、 $D (2 X - 1) = 12$

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7、函数 $y = cos x$ 与 $y = |lg x|$ 的图象的交点个数是（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $6$

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8、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ .已知 $a = 1, b = \sqrt{3}, A = \frac{π}{6}$ ，则 $c =$ （）

A、1 B、2 C、1或2 D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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9、在 ${(3 - \sqrt{x})}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{2}$ 的项的系数为（）

A、15 B、 $- 15$ C、270 D、 $- 270$

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10、已知平面向量 $\vec{a} = (- \sqrt{3}, - 1), \vec{b} = (- 2 \sqrt{3}, 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、2 B、10 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11、已知集合 $A = \{x ∣ - 1 \leq x \leq 3\}, B = \{x ∣ x^{2} - x - 6 < 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 3]$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $[- 1, 3]$ D、 $[- 1, 3)$

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12、如图，边长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为底面 $A B C D$ 上一动点，且满足 $A_{1} M ⊥ A C_{1}$ ，过点M作 $M F$ 垂直于 $A B$ ， $M E$ 垂直于 $A D$ ，直线 $M E$ 与直线 $D F$ 交于点P.

(1)、若以D为原点， $D A$ 为x轴， $D C$ 为y轴建立平面直角坐标系，求点P的轨迹方程.

(2)、以 $P C$ 为直径作圆 $O$ ，以圆 $O$ 为底面， $A A_{1}$ 为高作圆柱 $O O_{1}$ ，是否存在一个与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 平行的平面 $α$ ，该平面与圆柱 $O O_{1}$ 相交，所得截面面积为定值，若存在，确定平面 $α$ 的位置，并求截面的面积；若不存在，说明理由.

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13、已知椭圆 $E$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{2}$ ，点 $P (2 \sqrt{2}, 2)$ 在椭圆 $E$ 上.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $A$ ， $B$ ， $D$ 为椭圆 $E$ 上不同三点，且 $B$ ， $D$ 关于原点对称，以 $A B$ ， $A D$ 为邻边作平行四边形 $A B C D$ ，已知平行四边形 $A B C D$ 存在内切圆.
（i）判断该内切圆是否为定圆，若不是，说明理由，若是，求出它的方程；
（ii）求平行四边形 $A B C D$ 的面积的取值范围.

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14、如图，把 $∠ A B C = 60 °$ 的菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折，E，F，G，H分别为 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D A$ 的中点，O是菱形 $A B C D$ 对角线的交点.

(1)、证明：E，F，G，H四点共面；

(2)、若菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折成直二面角，求折纸后异面直线 $A B$ ， $D C$ 所成角的余弦值；

(3)、若菱形纸片 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 翻折到使异面直线 $A B$ ， $D C$ 的所成角为 $\frac{π}{2}$ ，求平面 $A B C$ 与平面 $A D C$ 的夹角的余弦值.

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15、已知直线 $l$ ： $x + m y + 1 = 0$ 与以C为圆心的圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 交于A、B两点.

(1)、当 $m = 1$ 时，求弦长 $|A B|$ ；

(2)、当 $△ A B C$ 面积为 $\sqrt{3}$ 时，求 $△ A B C$ 的外接圆的方程.

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16、一个袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球1个黄球，从中不放回地依次随机摸出3个球.

(1)、写出这个试验的样本空间并求第一次摸到红球的概率；

(2)、分别求第二次，第三次摸到红球的概率，并由此得到什么结论?

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17、双曲线具有以下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左，右焦点， $O$ 为坐标原点，过 $C$ 右支上一点 $A (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > \sqrt{3})$ 作双曲线的切线交 $x$ 轴于点 $M$ ，过点 $F_{1}$ 作 $F_{1} H ⊥ A M$ ，垂足为 $H$ ，则 $|O H| =$ .

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18、某圆拱形桥一孔圆拱如图，圆拱跨度 $A B = 24 m$ ，拱高 $O P = 6 m$ ，建造时每间隔3m需要用一根支柱支撑，则 $A_{1} P_{1} =$ m.

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19、过点 $(1, 1)$ ，方向向量为 $(2, - 3)$ 的直线方程是.

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20、我们把由半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆： $\frac{y^{2}}{b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ ， $a > b > c > 0$ .如图，设点 $F_{0}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ，是“果圆”与x，y轴的交点，叫做“果圆”的顶点， $M$ 是线段 $A_{1} A_{2}$ 的中点， $P$ 为“果圆”上任意一点.则（）

A、若半椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (x \geq 0)$ ，则两个半椭圆离心率的乘积为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、若 $△ F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，则“果圆”部分方程为 $y^{2} + \frac{4 x^{2}}{3} = 1 (x \leq 0)$ C、若 $|A_{1} A_{2}| > |B_{1} B_{2}|$ ，则 $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{b}{a} < \frac{4}{5}$ D、若 $|P M|$ 取得最小值，则 $P$ 为“果圆”的顶点

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超市	A	B	C	D	E
广告支出（万元）	1	4	6	10	14
销售额（万元）	6	20	36	40	48