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相关试卷

1、已知向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 满足 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = |\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}| = 1$ ，则 $|\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}| =$ .

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2、四边形ABCD是复平面内的平行四边形， $A, B, C$ 三点对应的复数分别是 $1 + 3 i$ ， $2 - i$ ， $- 3 + i$ ，则点D对应的复数为．

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3、给出以下命题正确命题的选项为（）

A、要得到 $y = \cos 2 x$ 的图象，只需将 $y = \sin (2 x + \frac{π}{3})$ 图象沿 $x$ 轴方向向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、函数 $y = \sin (x + \frac{π}{3}) + \cos (\frac{π}{6} - x)$ 的最大值为2 C、定义运算 $\otimes : a \otimes b = \{\begin{array}{l} a, a \leq b \\ b, a > b \end{array}$ ，则 $f (x) = \sin x$ 且 $g (x) = \cos x (x \in R)$ ，设 $F (x) = f (x) \otimes g (x)$ ，则 $F (x)$ 的值域为 $[- \frac{\sqrt{2}}{2}, 1]$ D、函数 $f (x) = - 4 \sin^{2} x + 4 \cos x + 1 - a$ ，当 $x \in [- \frac{π}{4}, \frac{2 π}{3}]$ 等时 $f (x) = 0$ 恒有解，则 $a$ 的范围是 $[- 4, 5]$

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4、下列说法中正确的有（）

A、设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为 $\sqrt{5}$ ，那么它的体积为 $\sqrt{3}$ B、用斜二测法作△ABC的水平放置直观图得到边长为a的正三角形，则△ABC面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4} a^{2}$ C、三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D、已知四点不共面，则其中任意三点不共线．

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5、 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，对 $\forall x \in R$ ，都有 $f (2 - x) = f (2 + x)$ ，且当 $x \in [- 2, 0]$ 时， $f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x} - 1$ .若在区间 $(- 2, 6]$ 内关于x的方程 $f (x) - \log_{a} (x + 2) = 0 (a > 1)$ 至少有2个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(1, 2)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $[\sqrt[3]{4}, 2)$ D、 $(1, \sqrt[3]{4})$

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6、已知平行四边形 $A B C D$ 中， $|\vec{A B}| = 8$ ， $|\vec{A D}| = 4$ ， $∠ A = \frac{π}{3}$ ．若点 $M$ 满足 $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{M B}$ ，点 $N$ 为 $A B$ 中点，则 $\vec{D M} \cdot (\vec{D A} + \vec{D N}) =$ （）

A、 $6$ B、 $12$ C、 $24$ D、 $30$

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7、已知圆锥的底面圆周在球O的表面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的体积为（）

A、 $64 \sqrt{6} π$ B、 $32 \sqrt{3} π$ C、 $\frac{32}{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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8、 $2018$ 年 $9$ 月 $24$ 日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国 $89$ 岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在 $1859$ 年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个何题，并得到小于数字 $x$ 的素数个数大约可以表示为 $π (x) \approx \frac{x}{\ln x}$ 的结论.若根据欧拉得出的结论，估计 $10000$ 以内的素数个数为（）（素数即质数， $\lg e \approx 0.43$ ，计算结果取整数）

A、 $1079$ B、 $1075$ C、 $434$ D、 $2500$

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9、在△ABC中，AB＝2，BC＝1.5，∠ABC＝120°(如图所示)，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则形成的旋转体的体积是（）

A、 $\frac{9 π}{2}$ B、 $\frac{7 π}{2}$ C、 $\frac{5 π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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10、i是虚数单位，若复数 $z = \frac{i^{6} + 2 i}{1 + i}$ ，则z的共轭复数 $\bar{z} =$ （）．

A、 $\frac{1}{2} - \frac{3}{2} i$ B、 $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} i$

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11、某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为1000万元，每生产x台，需另投入生产成本 $R (x)$ 万元.当年产量不足25台时， $R (x) = 3 x^{2} + k x$ ；当年产量不小于25台时 $R (x) = 202 x + \frac{3200}{x + 10} - 1330$ ，且当年产量为10台时需另投入成本1100万元；若每台设备售价200万元，通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

(1)、求k的值；

(2)、求该企业投资生产这批新型机器的年利润所 $W (x)$ （万元）关于年产量x（台）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；

(3)、这批新型机器年产量为多少台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

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12、已知四个整数 $a, b, c, d$ 满足 $0 < a < b < c < d$ ．若 $a, b, c$ 成等差数列， $b, c, d$ 成等比数列，且 $d - a = 48$ ，则 $a + b + c + d$ 的值为．

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13、已知椭圆的两焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ ， $F_{2} (1, 0)$ ，点 $P$ 为椭圆上一点，且 $2 | F_{1} F_{2} | = | P F_{1} | + | P F_{2} | .$

(1)、求此椭圆的方程 $;$

(2)、若点 $P$ 满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，求 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积．

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14、如图，在几何体 $A B C D E$ 中， $C D / / A E$ ， $∠ E A C = 90^{\circ}$ ，平面 $E A C D ⊥$ 平面 $A B C$ ， $C D = 2 E A = 2$ ， $A B = A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $F$ 为 $B D$ 的中点.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值.

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15、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ ．

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16、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点， $O$ 是坐标原点．过 $F_{2}$ 作 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $P$ ．若 $|P F_{1}| = \sqrt{6} |O P|$ ，则 $C$ 的离心率为

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2$ D、 $\sqrt{2}$

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17、已知圆心为C的圆经过 $A (1, - 5)$ ， $B (0, 2)$ 两点，且点C在直线 $x - y + 1 = 0$ 上，则此圆的标准方程为（）

A、 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 25$ B、 ${(x + 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25$ D、 ${(x + 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 25$

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18、已知两点 $A (3, 2)$ 和 $B (- 1, 4)$ 到直线 $m x + y + 3 = 0$ 距离相等，则 $m$ 值为（）

A、 $0$ 或 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- 6$ C、 $- \frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $0$ 或 $\frac{1}{2}$

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19、如图，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 分别在空间直角坐标系 $O - x y z$ 的三条坐标轴上， $\vec{O C} = (0, 0, 2)$ ，平面 $A B C$ 的法向量为 $\vec{n} = (2, 1, 2)$ ，设二面角 $C - A B - O$ 的大小为θ，则 $\cos θ =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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20、已知函数 $y = f (x)$ ，其中 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - k x^{2}$ ， $k \in R$ .若点 $A$ 在函数 $y = f (x)$ 的图像上，且经过点 $A$ 的切线与函数 $y = f (x)$ 图像的另一个交点为点 $B$ ，则称点 $B$ 为点 $A$ 的一个“上位点”，现有函数 $y = f (x)$ 图像上的点列 $M_{1}$ ， $M_{2}$ ， …， $M_{n}$ ， …，使得对任意正整数 $n$ ，点 $M_{n}$ 都是点 $M_{n + 1}$ 的一个“上位点”.

(1)、若 $k = 0$ ，请判断原点 $O$ 是否存在“上位点”，并说明理由；

(2)、若点 $M_{1}$ 的坐标为 $(3 k, 0)$ ，请分别求出点 $M_{2}$ 、 $M_{3}$ 的坐标；

(3)、若 $M_{1}$ 的坐标为 $(3, 0)$ ，记点 $M_{n}$ 到直线 $y = m$ 的距离为 $d_{n}$ .问是否存在实数 $m$ 和正整数 $T$ ，使得无穷数列 $d_{T}$ 、 $d_{T + 1}$ 、…、 $d_{T + n}$ …严格减？若存在，求出实数 $m$ 的所有可能值；若不存在，请说明理由.

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