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相关试卷

1、已知锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为 $a, b, c, (a - b + c) \sin B = (b - a) \sin A$ $+ c \sin C$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $c = 4, M$ 为 $△ A B C$ 外心，D为 $A C$ 中点， $D M = \sqrt{3} - 1$ ，求边a的大小.

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2、已知 $- 2 + i$ 是关于x的方程 $x^{2} + p x + q = 0, (p, q \in R)$ 的一个根.

(1)、求p，q的值及方程的另一个根；

(2)、若实系数一元二次方程 $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = 0 (a_{2} \neq 0)$ 在复数集C内的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，请猜想两根 $x_{1}, x_{2}$ 与实系数 $a_{0}, a_{1}, a_{2}$ 有怎样的结论?并用方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的根进行验证；

(3)、若 $z = x + y i (x, y \in R)$ ，则复平面内满足 $| z - (p + q i) | = 3$ 的动点 $Z (x, y)$ 的集合是什么图形?

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3、已知函数 $f (x) = \sin x \sin (x + \frac{π}{3}) - \sin^{2} x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的对称中心；

(2)、求函数 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{3}]$ 上的最大值和最小值.

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4、已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面的三个向量， $\vec{a} = (4, 3)$ .

(1)、若 $| \vec{b} | = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $| \vec{c} | = 5 \sqrt{3}$ ，且 $(\vec{a} + \vec{c}) ⊥ (2 \vec{a} - \vec{c})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 夹角 $θ$ 的余弦值.

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5、已知 $\tan (α + β) = \frac{1}{3}, \tan (α - β) = \frac{1}{2}$ ，则 $\tan 2 β =$ .

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6、若向量 $\vec{a} = (1, - \sqrt{3})$ ，则与 $\vec{a}$ 方向相同的单位向量是.

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7、已知函数 $f (x) = \sin^{n} x + \cos^{n} x, (n \in N^{*}, x \in R)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $n = 1$ 时， $f (x)$ 在 $[- \frac{3}{4} π, \frac{1}{4} π]$ 上单调递增 B、当 $n = 2$ 时， $f (x) = 1$ C、当 $n = 4$ 时， $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{4}$ D、当 $n = 8$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[\frac{1}{8}, 1]$

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8、我们把由平面内夹角成 $30 °$ 的两条数轴 $O x, O y$ 构成的坐标系，称为“@未来坐标系”. $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别为 $O x, O y$ 正方向上的单位向量.若向量 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则把实数对 ${x, y}$ 叫做向量 $\vec{O P}$ 的“@未来坐标”，记 $\vec{O P} = {x, y}$ .若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的“@未来坐标”分别为 $\{x_{1}, y_{1}\}$ ， $\{x_{2}, y_{2}\}$ ，则（）

A、 $\vec{e_{1}} \cdot \vec{e_{2}} = \frac{1}{2}$ B、 $\vec{a} + \vec{b}$ 的“@未来坐标”为 $\{x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}\}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1})$ D、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的“@未来坐标”分别为 ${\sin x, 1}, {\cos x, 1}$ ，则 ${(\vec{a} \cdot \vec{b})}_{\max} = \frac{3 + \sqrt{6}}{2}$

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9、已知复数 $z_{1} = 1 - 2 i, z_{2} = i (2 - i), z_{3} = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，则（）

A、 $\bar{z_{1} - z_{2}} = 4 i$ B、复数 $z_{2}$ 对应的平面向量的坐标为 $(2, 1)$ C、 $|z_{2}| = 5 |z_{3}|$ D、复数 $z_{3}$ 在复平面上对应的点在虚轴上

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10、已知 $θ \in (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}), \tan 2 θ = - 4 \tan (θ + \frac{π}{4})$ ，则 $\frac{1 - \sin 2 θ}{2 \cos^{2} θ - \sin 2 θ} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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11、若平面向量 $\vec{m}$ ， $\vec{n}$ ， $\vec{t}$ 两两夹角相等，且 $|\vec{m}| = 2$ ， $|\vec{n}| = 1$ ， $|\vec{t}| = 4$ ，则 $|\vec{m} + \vec{n} + \vec{t}| =$ （）

A、49 B、7 C、49或7 D、7或 $\sqrt{7}$

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12、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})$ B、 $y = f (x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 C、 $| A B | = \frac{π}{3}$ D、直线 $x = - \frac{π}{12}$ 是 $f (x)$ 的一条对称轴

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13、已知向量 $\vec{a} = (0, - 2), \vec{b} = (1, t)$ ，若向量 $\vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $2 \vec{a}$ ，则 $t =$ （）

A、 $- 8$ B、 $- 4$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、 $- 2$

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14、为了得到函数 $y = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，只需把函数 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象上所有的点（）

A、向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向右平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向左平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 D、向右平行移动 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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15、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是不共线的向量，且 $\vec{A B} = 2 \vec{a} - 5 \vec{b}, \vec{B C} = \vec{a} - 3 \vec{b}, \vec{C D} = \vec{a} - 2 \vec{b}$ ，则（）

A、A，B，C三点共线 B、A，B，D三点共线 C、B，C，D三点共线 D、A，C，D三点共线

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16、复数 $\frac{1 + 2 i}{2 - i} =$ （）

A、i B、 $- i$ C、1 D、－1

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17、 $\sin 45 ° \cos 15 ° + \cos 45 ° \cos 75 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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18、设 $f (x)$ 是定义在区间 $D$ 上的函数，如果对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的下凸函数；如果有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ，则称 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的上凸函数．于是根据定义若 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的下凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ；若 $f (x)$ 为区间 $D$ 上的上凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2} \in D$ ，有 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ ．

(1)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求证：
（ⅰ） $f (\frac{x}{2}) = \frac{sin x}{1 - cos x}$ ；
（ⅱ）函数 $f (x) = \frac{1}{tan x}, x \in (0, \frac{π}{2})$ 为下凸函数；参考公式： $2 sin α sin β = cos (α - β) - cos (α + β)$

(2)、已知函数 $g (x) = a x^{2} + x - \frac{1}{x^{2}}$ ，其中实数 $a > 0$ ，且函数 $g (x)$ 在区间 $(0, 1)$ 内为上凸函数，求 $a$ 的取值范围．

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19、已知圆锥 $S O$ 的底面半径 $r = 4$ ，高 $h = 3$ ．

(1)、求圆锥 $S O$ 侧面展开图圆心角 $α$ （用弧度表示）；

(2)、球 $O_{1}$ 在圆锥 $S O$ 内，圆锥 $S O$ 在球 $O_{2}$ 内，
（ⅰ）求球 $O_{1}$ 的表面积的最大值；
（ⅱ）求球 $O_{2}$ 与球 $O_{1}$ 体积之比的最小值．

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20、已知 $|\vec{a}| = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2}, (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2}$ ．

(1)、求 $|\vec{b}|$ 的值；

(2)、求向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 夹角的余弦值；

(3)、求 $|\vec{a} - t \vec{b}| (t \in R)$ 的最小值．

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