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相关试卷

1、如图，在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $D A B ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C, E, F$ 分别为 $D A, D C$ 的中点．

(1)、求证：平面 $B E F ⊥$ 平面 $D A B$ ；

(2)、设 $A B = A C = 2$ ，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 $B E F$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．
条件①： $A D = 2$ ；
条件②： $B D = B C$ ；
条件③： $A B ⊥ C D$ ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

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2、已知 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} sin A + 2 {sin}^{2} \frac{A}{2} = 2$ ．

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、设 $D$ 为 $A B$ 的中点，且 $sin ∠ A D C = \frac{\sqrt{21}}{7}, A C = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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3、数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线 $C : {(x^{2} + y^{2})}^{2} = 2 a^{2} (x^{2} - y^{2})$ 就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点 $A (- a, 0)$ 和 $B (a, 0) (a > 0)$ 的距离之积为常数 $a^{2}$ 的点的轨迹．设 $P (x_{0}, y_{0}) (y_{0} \neq 0)$ 为 $C$ 上一点，给出下列四个结论：
① $|x_{0}| \leq \sqrt{2} a$ ；
② $|y_{0}| \leq \frac{a}{2}$ ；
③若点 $P$ 在第一象限，则 $|O P| < \sqrt{2} x_{0}$ ；
④ $△ P A B$ 的周长可以等于 $5 a$ ．
其中，所有正确结论的序号是．

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4、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{5} = - 3$ ，且任意连续三项的和均为7，则 $a_{2025} =$ ；记数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则使得 $S_{n} \leq 100$ 成立的最大整数 $n =$ ．

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5、设函数 $f (x) = 2 sin (2 x + \frac{2 π}{3})$ ，则使得函数 $f (x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上存在最大值的一个 $φ$ 值为．

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6、一个金属模具的形状，大小如图所示，它是圆柱被挖去一个倒立的圆锥剩余的部分，那么该模具的体积为．

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7、函数 $f (x) = \sqrt{x + 1} + \frac{3}{x^{2}}$ 的定义域为．

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8、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 4 x - 4 a, & x \leq 1, \\ x^{2} - 2 a x + 3, & x > 1 \end{array}$ 若对于任意的 $x \in R$ ，都有 $f (x + 2) > f (x)$ ，那么实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 4, 4)$ B、 $[- 4, 2]$ C、 $(- \infty, 4)$ D、 $(- \infty, 2]$

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9、设正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，P为正方体表面上一点，且点P到直线 $A A_{1}$ 的距离与它到平面ABCD的距离相等，记动点P的轨迹为曲线W，则曲线W的周长为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2} + π$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2} + π$

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10、小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（）

A、840mm，594mm B、840mm，588mm C、594mm，420mm D、588mm，420mm

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11、设平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线， $k, s \in R$ ，则“ $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $s \vec{a} + 2 \vec{b}$ 共线”是“ $s k = 2$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、设 $F (c, 0)$ 为双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点．已知 $a, b, c$ 成等差数列，那么双曲线 $E$ 的离心率等于（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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13、设圆 $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 5 = 0$ 的圆心为 $M$ ，直线 $y = - x + t$ 与该圆相交于两点 $A, B$ ．若 $\vec{M A} \cdot \vec{M B} = - 4$ ，则实数 $t =$ （）

A、1 B、3或1 C、3 D、3或 $- 1$

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14、若 ${(x^{2} + 1)}^{4} = a_{0} + a_{1} x^{2} + a_{2} x^{4} + a_{3} x^{6} + a_{4} x^{8}$ ，则 $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} =$ （）

A、0 B、1 C、4 D、8

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15、设 $a = lg 2, b = lg 3$ ，则 $lg 15 =$ （）

A、 $(1 - a) b$ B、 $1 - a + b$ C、 $(1 + a) b$ D、 $1 + a - b$

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16、已知集合 $A = \{x |x^{2} + 2 x = 0\}$ ，集合 $B = \{x |x + 1 > 0\}$ ，那么（）

A、 $A \cap B = \emptyset$ B、 $A \subseteq B$ C、 $B \subseteq A$ D、 $(∁_{R} A) \cap B \neq \emptyset$

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |x|, x \in P \\ - x^{2} + 2 x, x \in M \end{array}$ ，其中 $P$ ， $M$ 是非空数集且 $P \cap M = \emptyset$ .设 $f (P) = \{y |y = f (x), x \in P\}$ ， $f (M) = \{y |y = f (x), x \in M\}$ .
（1）若 $P = (- \infty, 0)$ ， $M = [0 ， 4]$ ，求 $f (P) \cup f (M)$ ；
（2）是否存在实数 $a > - 3$ ，使得 $P \cup M = [- 3, a]$ ，且 $f (P) \cup f (M) = [- 3 ， 2 a - 3]$ ？若存在，求出所有满足条件的 $a$ ；若不存在，说明理由；
（3）若 $P \cup M = R$ 且 $0 \in M$ ， $1 \in P$ ， $f (x)$ 单调递增，求集合 $P$ ， $M$ .

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18、记 $S_{n}$ 为等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $\{a_{n}\}$ 的公比为2，若 $3 a_{3} + 4 = a_{5}$ ，则 $\frac{S_{6}}{a_{3}} =$ ．

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19、数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为 $α (0 < α < 1)$ ，收到的数字是0的概率为 $1 - α$ ；发送数字0时，收到的数字是0的概率为 $β (0 < β < 1)$ ，收到的数字是1的概率为 $1 - β$ ．假设每次数字的传输相互独立，且 $α + β = \frac{3}{2}$ ．

(1)、当 $α = β$ 时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；

(2)、用 $X$ 表示收到的数字串，将 $X$ 中数字1的个数记为 $n (X)$ ，如 $X =$ “1011”，则 $n (X) = 3$ ．
（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且 $P (n (X) = 0) : P (n (X) = 1) = 3 : 11$ ，求 $β$ ；
（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求 $P (n (X) = 2)$ 的最大值．

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20、对于定义域为 $[0, 1]$ 的函数 $f (x)$ ，如果同时满足以下三个条件：①对任意的 $x \in [0, 1]$ ，总有 $f (x) \geq 0$ ；② $f (1) = 1$ ；③若 $x_{1} \geq 0$ ， $x_{2} \geq 0$ ， $x_{1} + x_{2} \leq 1$ ，都有 $f (x_{1} + x_{2}) \geq f (x_{1}) + f (x_{2})$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为理想函数．

(1)、若函数 $f (x)$ 为理想函数，求 $f (0)$ 的值；

(2)、判断函数 $g (x) = 2^{x} - 1 (x \in [0, 1])$ 是不是理想函数，并予以证明．

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