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1、我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图池盆几何体是一个刍童，其中上，下底面均为正方形，且边长分别为8和4，侧面是全等的等腰梯形，且梯形的高为 $2 \sqrt{5}$ ，则该盆中最多能装的水的体积为（）

A、 $\frac{224 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{448}{3}$ C、 $224 \sqrt{5}$ D、448

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2、已知 $a$ ， $b$ 为实数，则“ $\sqrt{a} > \sqrt{b}$ ”是“ $\frac{b + 1}{a + 1} > \frac{b}{a}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、已知一组数据4，8，9，3，3，5，7，9，则（）

A、这组数据的上四分位数为8 B、这组数据没有众数 C、这组数据的极差为5 D、这组数据的平均数为6

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4、已知 $P$ 是圆 $C : {(x + 2)}^{2} + y^{2} = 12$ 上一动点，定点 $M (2, 0)$ ，线段 $P M$ 的垂直平分线 $n$ 与直线 $P C$ 交于点 $T$ ，记点 $T$ 的轨迹为 $C^{'}$ ．

(1)、求 $C^{'}$ 的方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C^{'}$ 恰有一个共点，且 $l$ 与直线 $l_{1} : y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ， $l_{2} : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$ 分别交于 $A$ 、 $B$ 两点， $△ O A B$ 的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

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5、如图，在正三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 6$ ， $A_{1} B_{1} = 4.$

(1)、若 $C C_{1} = \sqrt{2}$ ，证明： $C C_{1} ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ；

(2)、若三棱台的高为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ ，求平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 夹角的余弦值.

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6、袋中有三个相同的小球，用不同数字对三个小球进行标记.从袋中随机摸出一个小球，接着从袋中取出比该小球上数字大的所有小球 $($ 不再放回 $)$ ，并将该小球放回袋中.然后，对袋中剩下的小球再作一次同样的操作，此时袋中剩下2个小球的概率为.

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7、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = \frac{1}{2} A D = 2$ ，点 $P$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{A_{1} D_{1}}$ 上的动点（不包括端点），点 $Q$ 是半圆弧 $\overset{⌢}{B C}$ 上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）

A、 $\vec{A D} \cdot \vec{A_{1} P}$ 的取值范围是 $[0, 16]$ B、若 $C_{1} Q$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $θ$ ，则 $tan θ > \frac{1}{2}$ C、 $C P$ 的最小值为 $2 \sqrt{4 - 2 \sqrt{2}}$ D、若三棱锥 $P - B C Q$ 的外接球表面积为 $S$ ，则 $S \in [16 π, 32 π)$

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8、已知P为圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点 $($ 不在坐标轴上 $)$ ，过P作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，将 $△ O P Q$ 绕y轴旋转一周，所得几何体的体积最大时，线段OQ的长度为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$

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9、图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”—— $500 m$ 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系 $x O y$ 内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为 $125 m$ ，则点到该抛物线焦点F的距离为（）

A、 $225 m$ B、 $275 m$ C、 $330 m$ D、 $380 m$

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10、函数 $f (x) = \frac{2 cos (π x)}{e^{x} - e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a < b < c$ ， $a c < 0$ ，则（）

A、 $a b^{2} < b^{2} c$ B、 $\frac{1}{c} > \frac{1}{a}$ C、 $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \leq - 2$ D、 $c - a > 2 \sqrt{(c - b) (b - a)}$

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12、已知复数 $z$ 满足 $z (1 - i) = i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2} i$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2} i$

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13、设 $C (M)$ 表示非空集合 $M$ 中元素的个数，已知非空集合 $A, B$ .定义 $A \otimes B = \{\begin{array}{l} C (A) - C (B), C (A) \geq C (B) \\ C (B) - C (A), C (A) < C (B) \end{array}$ ，若 $A = \{1, 2\}$ ， $B = \{x |(x^{2} + a x) (x^{2} + a x + 2) = 0\}$ 且 $A \otimes B = 1$ ，则实数 $a$ 的所有取值为（）

A、0 B、0， $- 2 \sqrt{2}$ C、0， $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$ ， 0， $2 \sqrt{2}$

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14、有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有种不同的借法.

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15、已知直线 $l : x - m y + 1 = 0$ 与 $⊙ C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 交于A，B两点，写出满足“ $△ A B C$ 面积为 $\frac{8}{5}$ ”的m的一个值．

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16、记 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知向量 $\vec{m} = (\cos A, 1 + \sin A)$ ， $\vec{n} = (1 + \cos 2 B, - \sin 2 B)$ .

(1)、设单位向量 $\vec{j} = (0, 1)$ ，若 $\vec{m} - 2 \vec{j}$ 与 $\vec{n}$ 共线，且 $B = \frac{π}{6}$ ，求 $A$ ；

(2)、当 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ 时：
（i）若 $C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $B$ ；
（ii）求 $\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}}$ 的最小值.

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17、定义：已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .我们把数量 $|\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的叉乘 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模，记作 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ，即 $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin θ$ .

(1)、若向量 $\vec{a} = (2, 4)$ ， $\vec{b} = (- 3, 1)$ ，求 $|\vec{a} \times \vec{b}|$ ；

(2)、若平行四边形 $A B C D$ 的面积为4，求 $|\vec{A B} \times \vec{A D}|$ ；

(3)、若 $|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的最小值.

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18、如图所示， $△ A B C$ 的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 点上.岛屿 $A$ 到补给站 $D$ 的距离为岛屿 $A$ 到 $B$ 的 $\frac{2}{5}$ ，岛屿 $A$ 和岛屿 $C$ 到补给站 $E$ 的距离相等，补给站 $F$ 在靠近岛屿 $C$ 的 $B C$ 的三等分点上.设 $\vec{C B} = \vec{a}$ ， $\vec{C A} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{E F}$ ， $\vec{C D}$ ；

(2)、如果 $∠ A C B = 60 °$ ， $A C = 20$ 海里，且 $C D ⊥ E F$ ，求岛屿 $C$ 到补给站 $D$ 的距离 $|\vec{C D}|$ 以及岛屿 $A$ 到 $B$ 的距离 $|\vec{A B}|$ .

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19、已知 $\vec{A B} = (- 1, 3)$ ， $\vec{B C} = (3, m)$ ， $\vec{C D} = (1, n)$ ，且 $\vec{A D} / / \vec{B C}$ .

(1)、求实数 $n$ 的值；

(2)、若 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ ，求实数 $m$ 的值；

(3)、在 $\vec{A C} ⊥ \vec{B D}$ 的条件下，取 $\vec{B C}$ 不垂直于 $\vec{C D}$ 的情形，求向量 $\vec{B C}$ 在 $\vec{A B}$ 的投影向量（结果用坐标表示）.

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20、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $b = 2 c - 2 a \cos B$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 3 \sqrt{3}$ ， $c = 2 b$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ .

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