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相关试卷

1、已知 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + b_{2} = 4$ ， $T_{3} = 3$ ，则 $S_{3} =$ ．

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2、已知定义域为 $(0,+ \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x y + 1) = \frac{f (x y)}{f (x) f (y) + 1}$ ，且 $f (2) = \frac{1}{2}$ ，记 $a_{n} = \frac{1}{\sqrt{f (n)}}$ ，则下列选项中正确的有（）

A、 $\frac{1}{a_{1} + a_{2}} + \frac{1}{a_{2} + a_{3}} + \dots \dots + \frac{1}{a_{20} + a_{21}} < \sqrt{21}$ B、当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} - a_{n - 1} > \frac{1}{2 \sqrt{n}}$ C、当 $n \geq 2$ 时， $(a_{n} - a_{n - 1}) (a_{n + 1} - a_{n}) > 1$ D、 $\frac{1}{a_{1}^{3}} + \frac{1}{a_{2}^{3}} + \dots \dots + \frac{1}{a_{16}^{3}} > \frac{15}{8}$

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3、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下列命题正确的是（）

A、若椭圆 $C$ 上存在一点 $P$ 使 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{2 π}{3}$ ，则椭圆离心率的取值范围是 $[\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ B、若椭圆 $C$ 上存在四个点 $P$ 使得 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、若椭圆 $C$ 上恰有6个不同的点 $P$ ，使得 $△ P F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 1)$ D、若任意以椭圆 $C$ 的上顶点为圆心的圆与椭圆 $C$ 至多3个公共点，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2}]$

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} - 3 x + 4, x \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，则下列选项中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{1}{2}, 2]$ 上单调递增 B、函数 $f (x)$ 在的值域为 $[2, 6]$ C、函数 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = - 3 x + 4$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有2个不同的根当且仅当 $a \in [2, \frac{21}{8}]$

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5、已知 $x \in [1, 3]$ ，方程 $e^{x - \frac{1}{2} \ln x} + \frac{b}{\sqrt{x}} = a \sqrt{x + \frac{5}{x} - 2}$ 有实数根，则 $a^{2} + \frac{b^{2}}{4}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{e^{2}}{9}$ B、 $\frac{e^{2}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{2} e}{4}$ D、 $e$

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6、在如图所示的试验装置中，正方形框 $A B C D$ 的边长为2，长方形框 $A B E F$ 的长 $B E = \sqrt{2} A B$ ，且它们所在平面形成的二面角 $C - A B - E$ 的大小为 $\frac{π}{4}$ ，活动弹子 $M, N$ 分别在对角线 $A C$ 和 $B F$ 上移动，且始终保持 $\frac{A M}{A C} = \frac{B N}{B F} = λ (0 < λ < 1)$ ，则 $M N$ 的长度最小时 $λ$ 的取值为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7、已知双曲线 $M$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线 $M$ 于 $P, Q$ 两点， $△ P F_{1} F_{2}, △ Q F_{1} F_{2}, △ F_{1} P Q$ 的内切圆圆心分别为 $O_{1}, O_{2}, O_{3}$ ，则 $△ O_{1} O_{2} O_{3}$ 的周长是（）

A、 $2 \sqrt{2} + 2$ B、 $2 \sqrt{5} + 2$ C、 $\frac{2 \sqrt{13}}{3} + 2$ D、 $\frac{3 \sqrt{13}}{2} + 2$

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8、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，满足 $(a_{n} - 1) T_{n} = 2 a_{n}$ ，则 $a_{n} < \frac{2025}{2024}$ 时的 $n$ 的最小值为（）

A、2026 B、2025 C、2024 D、2023

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9、已知 ${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$ 是空间的一个基底，则下列向量中与向量 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - 2 \vec{c}$ 能构成空间基底的是（）

A、 $\vec{a} - \vec{b} - 4 \vec{c}$ B、 $2 \vec{a} + \vec{b} - 2 \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + 2 \vec{b} + 2 \vec{c}$

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10、已知函数 $f (x) = e^{x} {(x - a)}^{2}$ 在 $x = 1$ 处有极大值，则 $a$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、 $1$ C、 $3$ D、 $1$ 或 $3$

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11、直线 $x + \sqrt{3} y - 1 = 0$ 的倾斜角的度数为（）

A、 $150^{\circ}$ B、 $60^{\circ}$ C、 $30^{\circ}$ D、 $- 30^{\circ}$

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12、下列求导正确的（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${[\ln (2 x + 1)]}^{'} = \frac{1}{2 x + 1}$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{e^{x} (x + 1)}{x^{2}}$ D、 ${(x \sin x)}^{'} = \sin x + x \cos x$

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13、牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法—牛顿法.如图，r是函数 $f (x)$ 的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近r的实数 $x_{0}$ ， $x_{1}$ ， … $x_{n - 1}$ ， $x_{n}$ ，在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处作 $f (x)$ 的切线，则 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标是 $x_{1}$ ，同理 $f (x)$ 在 $(x_{1}, f (x_{1}))$ 处的切线与x轴交点的横坐标是 $x_{2}$ ，一直继续下去，得到数列 $\{x_{n}\} (n \in N^{*})$ ，从图中可以看到， $x_{1}$ 较 $x_{0}$ 接近r， $x_{2}$ 较 $x_{1}$ 接近r，……，当n很大时， $|x_{n} - r|$ 很小，我们就可以把 $x_{n}$ 的值作为r的近似值，即把 $x_{n}$ 作为函数 $f (x)$ 的近似零点.现令 $f (x) = {(2 x + 1)}^{3}$ .

(1)、当 $x_{0} = 1$ 时，求 $f (x) = 0$ 的近似解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ；

(2)、在（1）的条件下，求数列 $\{x_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n}$ ；

(3)、当 $x > 0$ 时，令 $g (x) = \frac{1}{3} x \cdot ln [f (\frac{x - 1}{2})]$ ，若 $- \frac{1}{4} < m < 0$ 时， $g (x) = m$ 有两个不同实数根 $α$ ， $β (α < β)$ .求证： $\sqrt{1 + 4 m} < β - α < m + 1$ .

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14、甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有 $m (m \geq 1, m \in N^{*})$ 个红球和4个白球，乙口袋有 $n (n \geq 1, n \in N^{*})$ 个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球.

(1)、当 $m = n = 4$ 时.
（i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率；
（ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望 $E (X)$ ；

(2)、当 $m = 2 n$ 时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？

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15、如图，在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B = A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， E是 $B C$ 的中点， $A E \cap B D = M$ ，将 $△ B A E$ 沿着 $A E$ 翻折成 $△ B_{1} A E$ .

(1)、求证： $C D ⊥$ 平面 $B_{1} D M$ ；

(2)、若平面 $B_{1} A E ⊥$ 平面 $A E C D$ ，求平面 $B_{1} M D$ 与平面 $B_{1} A D$ 夹角的余弦值；

(3)、在线段 $B_{1} C$ 上是否存在点P，使得 $M P //$ 平面 $B_{1} A D$ ，若存在，求出 $\frac{B_{1} P}{B_{1} C}$ 的值；若不存在，说明理由.

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16、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $F_{1} (- \sqrt{3}, 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3}, 0)$ ，若点P是平面上一动点，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $4 + 2 \sqrt{3}$ ，设动点P的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若直线 $y = k (x - 1)$ 与曲线C交于A，B两点，且 $D (\frac{1}{2}, 0)$ ， $|D A| = |D B|$ ，求k的值.

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17、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $a cos C + c cos A = 2 b cos A$ .

(1)、求角A；

(2)、若 $b c = 16$ ，求 $△ A B C$ 外接圆面积的最小值.

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18、用平面截圆锥可得到不同的圆锥曲线.如图，已知圆锥 $P O$ 的侧面积为 $2 \sqrt{2} π$ ，它的轴截面为等腰直角三角形.过圆锥底面圆心O作平面 $α$ ，使圆锥轴 $P O$ 与平面 $α$ 成45°角，此时平面 $α$ 截圆锥侧面所得图形记为抛物线C，则抛物线C的焦点到准线的距离为.

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19、已知曲线 $f (x) = x cos x$ ，圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ，若直线 $l$ 与曲线 $f (x)$ 在 $(0, 0)$ 处的切线平行，且直线 $l$ 被圆C截得的弦长为6，则直线 $l$ 的方程为.

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20、数列 $\{\frac{a_{n}}{n}\}$ 是以1为首项，2为公差的等差数列，则 $a_{5} =$ .

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