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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $A = \frac{π}{2}, B = \frac{π}{3}$ ，那么向量 $\vec{B A}$ 在 $\vec{B C}$ 上的投影向量是（）

A、 $\frac{1}{4} \vec{B C}$ B、 $- \frac{1}{4} \vec{B C}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{4} \vec{B C}$

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2、已知圆锥高为2，母线与底面所成角为 $45 °$ ，则该圆锥的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $4 \sqrt{2} π$ C、 $(4 \sqrt{2} + 4) π$ D、 $8 \sqrt{2} π$

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3、 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 展开式中 $x^{2}$ 的系数是（）

A、1 B、 $- 1$ C、 $- 3$ D、3

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4、若集合 $A = {x ∣ y = \sqrt{x}}, B = \{x ∣ x^{2} = 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 1}$ B、 ${- 1}$ C、 ${1}$ D、 $[0, + \infty)$

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5、若O为 $△ A B C$ 所在平面内任一点，且满足 $(\vec{O B} - \vec{O C}) \cdot (\vec{O B} + \vec{O C} - 2 \vec{O A}) = 0$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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6、设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F,$ 点A在C上，过A作 $C$ 的准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为 $y = - 2 x + 2$ ，则 $| A F | =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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7、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x - 2)$ ，且 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 \cos \frac{π}{2} x, - 1 < x \leq 1 \\ 1 - |x - 2|, 1 < x \leq 3 \end{array}$ ，则方程 $3 f (x) = x$ 的实数解的个数为．

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8、设函数 $f (x) = 2 x - \ln (x - a), a \in R$ .

(1)、若 $a = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x}$ （ $a$ 为常数， $a \in R$ ）．

(1)、当 $a$ 取何值时，函数 $f (x)$ 为奇函数；

(2)、当 $a = 1$ 时，若方程 $f (2 x) - k \cdot f (x) = 3$ 在 $x \in [0, 1]$ 上有实根，求实数 $k$ 的取值范围．

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10、下列求导运算正确的是（）

A、 ${(ln 2)}^{'} = \frac{1}{2}$ B、 ${(3^{x} + {log}_{3} x)}^{'} = (3^{x} + x) ln 3$ C、 ${(e^{x} \sqrt{x})}^{'} = \frac{e^{x}}{2 \sqrt{x}}$ D、 ${(\frac{ln x}{x^{2}})}^{'} = \frac{1 - 2 ln x}{x^{3}}$

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11、函数 $f (x) = \frac{x^{3} - x}{x^{2} + 2}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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12、已知直线l经过点 $(1, 6)$ 和点 $(8, - 8)$ ．

(1)、求直线l的截距式方程；

(2)、求直线l与两坐标轴围成的图形面积．

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13、已知 $\vec{a} = (2, - 2, 2), \vec{a} + \vec{b} = (6, - 3, 2)$ ．

(1)、求向量 $\vec{b}$ 的坐标；

(2)、若 $(k \vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $k$ 的值．

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14、设直线 $l$ 的方程为 $x - y cos θ + 2 = 0$ ，则直线 $l$ 的倾斜角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0, π]$ B、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ C、 $[\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]$ D、 $[\frac{π}{4}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}]$

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15、已知函数 $f (x) = x \ln (x + a) - 2 x + 2 \ln (x + 1), g (x) = 2 \ln (x + a + 1) - 3 x$ ．

(1)、若 $a = 0$ ，求 $g (x)$ 在 $(1, g (1))$ 处的切线 $l$ 的方程；

(2)、判断 $x = 0$ 是否是函数 $f (x)$ 的极值点，并说明理由；

(3)、若不等式 $f (x) > g (x) + k (x - 2)$ 对任意的 $x \in (2, + \infty)$ ， $a \in [0, 2]$ 恒成立，求正整数 $k$ 的最大值．（参考数据： $e = 2.71828 \dots, e^{2} = 7.38906 \dots, e^{3} = 20.08554 \dots$ ）．

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过点 $Q (2, 0)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点．当 $l$ 与 $x$ 轴垂直时， $|A B| = 4 \sqrt{2}$ ．

(1)、求抛物线 $C$ 的解析式；

(2)、若 $\cos ∠ A O B = - \frac{\sqrt{13}}{13}$ ，过 $x$ 轴上一点 $P$ 作直线 $O A, O B, A B$ 的垂线，垂足分别为 $E, F, G$ ，且满足 $E,$ $F, G$ 三点共线．
（i）求直线 $l$ 的方程；
（ii）求 $P$ 点的坐标．

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17、已知 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P (1, 0)$ ，定义点 $A_{n} (1 + \frac{1}{a_{n}}, 1), B_{n} (n, 1)$ （其中 $n \in N_{+}$ ），记 $a_{n} = ∠ A_{n} O P, β_{n} = ∠ B_{n} O P$ ．
（i）求 $\tan (β_{2} + β_{3})$ 的值；
（ii）证明： $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} + β_{n + 1} = \frac{π}{4}$ ．

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B // C D, B C ⊥ A B,$ $A B = 1 + \sqrt{3}, C D = \sqrt{3}, B C = P B = 2$ ，且四棱锥 $P - A B C D$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3} + 1}{3}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ P D$ ；

(2)、求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值．

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19、某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组： $[40, 50)$ ， $[50, 60)$ ， …， $[90, 100]$ ，得到如图所示的频率分布直方图，

(1)、求图中 $a$ 的值和样本成绩的中位数；

(2)、已知学校用分层抽样的方法，从 $[80, 90)$ ， $[90, 100]$ 两组内抽取了7份试卷作为优秀试卷，并从对应的学生中随机选取3人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 $[90,100]$ 内的有 $X$ 人，求 $X$ 的分布列和数学期望．

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20、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作直线交双曲线 $C$ 的右半支于 $P, Q$ 两点，满足 $P F_{1} ⊥ P Q$ ，且 $△ Q F_{1} F_{2}$ 面积是 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的两倍，则双曲线 $C$ 的离心率为．

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