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1、岳阳楼地处岳阳古城西门城墙之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳阳楼记》著称于世，自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小明为了测量岳阳楼的高度 $A B$ ，他首先在 $C$ 处，测得楼顶 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，然后沿 $B C$ 方向行走22.5米至 $D$ 处，又测得楼顶 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，则楼高 $A B$ 为米．

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2、正方形 $A B C D$ 的面积为16， $\vec{A M} = \vec{M B}$ ，点 $N$ 在线段 $C D$ 上．若 $\vec{A M} \cdot \vec{A N} = \frac{4}{3} | \vec{A M} |^{2}$ ，则 $|\vec{A N}| =$ ．

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3、若角 $θ$ 的终边经过点 $P (1, 3)$ ，则 $\sin θ \cos θ + \cos^{2} θ =$ .

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4、下列说法中正确的有（）

A、 $|(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}| \leq |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|$ B、已知 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$ 且 $| \vec{b} | = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{25}{2}$ C、若非零向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角是 $30 °$ D、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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5、下列结论正确的是（）

A、 $\sin (α - \frac{π}{2}) = - \cos α$ B、 $\cos (α - π) = - \cos α$ C、 $\tan (- α - π) = - \tan α$ D、 $\cos (\frac{5 π}{2} + α) = \sin α$

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6、式子 $\frac{\sin 20 ° \sqrt{1 + \cos 40 °}}{\cos 50 °}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{2}$ D、2

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7、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + k (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) + 1$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{6}) - 1$ C、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) + 1$ D、 $f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{3}) - 1$

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8、 $\sin 25 ° \cos 20 ° + \cos 25 ° \sin 20 ° =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 2$ ，点 $M$ ， $N$ 是边 $B C$ 上的两动点，满足 $∠ M A N = \frac{π}{6}$ ，记 $∠ B A M = θ$ .

(1)、若 $sin θ = \frac{1}{2}$ ，求 $M N$ 的长；

(2)、求 $M N$ 的最小值.

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10、已知复数 $z = 3 + m i$ ， $m \in R$ ，其中 $i$ 为虚数单位，若 $\frac{z}{1 + 3 i} > 0$ .

(1)、若 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，求 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点的坐标；

(2)、若复数 $z$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个根，求实数 $b$ ， $c$ 的值.

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11、如图，已知等腰梯形 $A B C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 3$ ， $A D = 2$ ， $D C = 1$ .点 $E$ 满足 $\vec{B E} = \vec{E C}$ ，点 $F$ 在 $A B$ 上，满足 $D F ⊥ A E$ 交 $A E$ 于 $G$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ .

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E}$ ，并求 $\vec{A E}$ 的模；

(2)、求 $A G$ 的长.

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12、已知在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ， $E$ 为棱 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $E - A_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面积；

(2)、求四棱锥 $E - A A_{1} C_{1} C$ 的体积.

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13、给出下列四个命题，其中正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} = (t - 2, 2 t + 3)$ ， $\vec{A C} = (4, 1)$ ，若角 $A$ 为钝角，则实数 $t$ 的取值范围为 $t < \frac{5}{6}$ B、在 $△ A B C$ 中，若 $|\vec{O A} - \vec{O B} |=| \vec{O A} + \vec{O B} - 2 \vec{O C}|$ ，则 $△ A B C$ 为等腰直角三角形 C、在 $△ A B C$ 中，若 $a = 2, b = 3, c = 4$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 方向上的投影向量的模为 $\frac{21}{8}$ D、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，则点 $O$ 为 $△ A B C$ 的重心

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14、在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2$ ， $A C = \sqrt{7}$ ，若点 $O$ 为 $△ A B C$ 的外心，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ 的点，则 $\vec{A O} \cdot \vec{A M} =$ （）

A、 $\frac{13}{4}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{11}{4}$ D、3

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15、折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若 $A D = D B$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，且圆台的表面积为 $42 π$ ，则该圆台的高为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、3 D、 $2 \sqrt{6}$

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16、已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 是平面内的一组基底，若向量 $k \vec{a} - 2 \vec{b}$ 与 $\frac{3}{4} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ 共线，则实数 $k$ 的值为（）

A、 $- \frac{9}{4}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $- 4$

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17、已知复数 $z = (m + 2) + (2 m - 5) i$ ，其中 $i$ 为虚数单位.若复数 $z$ 为纯虚数，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $m = 2$ B、 $m = - 2$ C、 $m = \frac{5}{2}$ D、 $m = - \frac{5}{2}$

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, - 3)$ ， $\vec{b} = (2, 4)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ D、 $\vec{a} / / (\vec{a} + \vec{b})$

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19、为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD．其中AB＝3百米，AD＝ $\sqrt{5}$ 百米，且△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形．拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设∠BAD＝ $θ$ ， $θ \in$ ( $\frac{π}{2}$ ， $π$ )．
（1）当cos $θ$ ＝ $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ 时，求小路AC的长度；
（2）当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度．

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20、正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B B_{1} = 2$ ，点 $D, E$ 分别为 $B B_{1}, A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $D E //$ 面 $A B C$ ；

(2)、求三棱锥 $C_{1} - A C D$ 的体积．

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