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相关试卷

1、设 $t > 1$ ， $n \geq 1$ ， $n \in N$ ，若各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $\frac{1}{t} a_{n} < a_{n + 1} < a_{n}$ ，则称数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质“ $P (t)$ ”．

(1)、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 1 - a_{n} (n \in N^{*})$ ，试判断数列 $\{a_{n}\}$ 是否具有性质“ $P (4)$ ”，并说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ，且 $a_{n + 1} = ln (e^{a_{n}} - 1) - ln a_{n} (n \in N^{*})$ ．
（i）证明：数列 $\{a_{n}\}$ 具有性质“ $P (3)$ ”；
（ii）记数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} \geq 1 - \frac{1}{3^{n}} (n \in N^{*})$ ．

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2、已知函数 $f (x) = \frac{\ln (a x)}{x - 1}$ .

(1)、已知 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, - 1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a = \frac{2}{e}$ 时，证明：若 $x_{1} \in (0, 1), x_{2} \in (1, + \infty)$ ，则 $f (x_{1}) - f (x_{2}) > \frac{3}{2}$ .
（参考数据： $e^{2} \approx 7.39, e^{3} \approx 20.09, e^{4} \approx 54.60$ ）

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3、在梯形 $A B C D$ 中， $A B$ $∥$ $C D, ∠ B A D = 60^{\circ}, A B = 2 A D = 2 C D = 4, P$ 为 $A B$ 的中点，线段 $A C$ 与 $D P$ 交于 $O$ 点，将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 折起到 $△ A C D^{'}$ 的位置，使得平面 $A C B ⊥$ 平面 $A C D^{'}$ .

(1)、求证： $B C$ $∥$ 平面 $P O D^{'}$ ；

(2)、线段 $P D^{'}$ 上是否存在点 $Q$ ，使得 $C Q$ 与平面 $B C D^{'}$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{8}$ ？若存在，求出 $\frac{P Q}{P D^{'}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $2 S_{n} = 3 a_{n} + m$ .

(1)、求实数 $m$ 的值和数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = a_{n} \cdot \log_{3} a_{n + 1}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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5、已知曲线 $y = \frac{1}{x} + \frac{\ln x}{a}$ 在 $x = 1$ 处的切线 $l$ 与直线 $2 x + 3 y = 0$ 垂直，则实数 $a$ 的值为.

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6、设抛物线 $C : y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，过 $F$ 的直线 $m$ 交 $C$ 于 $A$ 、 $B$ ，过 $F$ 且垂直于 $m$ 的直线交 $l : x = - \frac{3}{2}$ 于 $E$ ，过点 $A$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $D$ ，过点 $B$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $P$ ，则正确的结论是（）

A、 $|D E| = |P E|$ B、 $|A E| = |A B|$ C、存在直线 $m$ ，使得 $|A E| \cdot |B E| = 18$ D、对任意直线 $m$ ， $\frac{1}{{|A E|}^{2}} + \frac{1}{{|B E|}^{2}} = \frac{1}{{|E F|}^{2}}$

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7、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左，右焦点，若 $P$ 是双曲线左支上的点，且 $|P F_{1}| \cdot |P F_{2}| = 48$ ．则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、8 B、16 C、24 D、 $8 \sqrt{3}$

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8、已知等差数列的前15项和 $S_{15} = 30$ ，则 $a_{2} + a_{13} + a_{9} =$ （）

A、7 B、15 C、6 D、8

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} cosπ x, x \geq 0 \\ \frac{2}{x}, x < 0 \end{matrix}$ ，则 $f [f (\frac{2}{3})] =$ （）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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10、直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为1，2， $l_{1}$ ， $l_{2}$ 夹角为 $θ$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{10}$

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11、已知复数 $z$ 满足 $(i - 2) z = 4 + 3 i$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 30 °$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $D$ 为 $A C$ 中点， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ，延长 $A E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，如图2所示．

(1)、 $A E ⊥$ 平面 $B C D$

(2)、求二面角 $A - D C - B$ 的余弦值；

(3)、在线段 $A F$ 上是否存在点 $M$ 使得 $E M //$ 平面 $A D C$ ?若存在，求 $\frac{A M}{A F}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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13、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且满足 $a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 5 a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = \frac{2^{n}}{a_{n}}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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14、如图，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $A A_{1} = 2$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{11}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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15、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x, 0 < x < 2 \\ - 2 x + 8, x \geq 2 \end{cases}$ ，若 $f (a) = f (b), a < b$ ，则 $a - b$ 的取值范围是（）

A、 $(- 4, \sqrt{5} - 3]$ B、 $(- 4, - 1]$ C、 $(- 4, 1 - \sqrt{5}]$ D、 $(- 4, 3 + \sqrt{5}]$

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16、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(- 1, 2)$ ，则函数 $g (x) = \frac{f (x - 1)}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $\{1\}$ C、 $(1, 3)$ D、 $(- 1, 3)$

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17、已知函数 $f (x) = a x^{2} + (a - 2) x - ln x$ $（ a \in R ）$ ；

(1)、若直线 $3 x - y + c = 0 (c \in R)$ 是曲线 $f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、若 $f (x)$ 没有零点，求 $a$ 的取值范围.

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18、如图，在多面体 $A B C D E F$ 中，平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A B C D .$ 四边形 $A D E F$ 为正方形，四边形 $A B C D$ 为梯形，且 $A D / / B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $A B = A D = 1$ ， $B C = 3.$ 点 $M$ 满足 $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B D}$ ．

(1)、求证： $C E / /$ 平面 $A F M$ ；

(2)、求直线 $B F$ 与平面 $C D E$ 所成角的正弦值．

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19、已知椭圆 $C_{1} :$ $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 2)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $C_{2} :$ $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点是椭圆的顶点．

(1)、求抛物线的方程；

(2)、过点 $M (- 1, 0)$ 作抛物线的切线 $l$ ，求切线 $l$ 的方程．

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20、甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是 $\frac{3}{5}$ ，乙能答对其中5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选.
（1）求乙得分的分布列和数学期望；
（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

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