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相关试卷

1、若 $\frac{1}{z} = 2 - i$ （i为虚数单位），则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）．

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2、如图所示，四边形 $A B C D$ 为菱形， $P A = P D$ ，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A D C$ ，点 $E$ 是棱 $A B$ 的中点．

(1)、求证： $P E ⊥ A C$ ；

(2)、若 $P A = A B = B D = 2$ ，求三棱锥 $E - P C D$ 的体积．

(3)、若 $P A = A B$ ，当二面角 $P - A C - B$ 的正切值为 $- 2$ 时，求直线 $P E$ 与平面 $A B C D$ 所成的角．

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3、某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位 $mg$ ）的样本数据统计如下：

(1)、求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）

(2)、公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在 $(\bar{x} - s ， \bar{x} + s)$ 范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中 $\bar{x}$ ， $s$ 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得 $s \approx 10$ （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
①若产品的质量差为 $78 mg$ ，试判断该产品是否属于一等品；
②假如公司包装时要求，3件一等品和2件二等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出2件产品进行检验，求摸出2件产品中至少有1件一等品的概率．

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4、已知函数 $f (x) = sin x cos x + \sqrt{3} {cos}^{2} x - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、已知 $f (α) = \frac{3}{5}$ ，求 $cos (\frac{π}{6} - 2 α)$ 的值.

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5、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(3 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ (2 \vec{b} - \vec{a})$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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6、给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、众数为2和3 C、方差为 $\frac{8}{5}$ D、第85百分位数为4.5

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7、在四边形ABCD中， $A (0, 0)$ ， $B (1, 2)$ ， $\vec{A B} = \vec{D C}$ ， $\frac{\vec{B A}}{|\vec{B A}|} + \frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} = \frac{\sqrt{2} \vec{B D}}{|\vec{B D}|}$ ，则四边形ABCD的面积为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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8、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ （其中 $A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，点 $M, N$ 是函数图象与 $x$ 轴的交点，点 $P$ 是函数图象的最高点，且 $△ P M N$ 是边长为2的正三角形， $O N = 3 O M$ ，则 $f (x) = A sin (ω x + φ)$ 的解析式可以是（）

A、 $f (x) = \sqrt{3} sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = 2 sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ C、 $f (x) = \sqrt{3} sin (\frac{π}{2} x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sqrt{3} sin (π x + \frac{π}{4})$

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为a，b，c，如果 $a \cos A = b \cos B$ ，则 $△ A B C$ 一定是（）

A、等腰或直角三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形

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10、甲、乙、丙三人破译一份密码，若三人各自独立破译出密码的概率为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ，且他们是否破译出密码互不影响，则这份密码被破译出的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{5}{9}$ D、 $\frac{7}{9}$

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11、当 $1 < m < 2$ 时，复数 $m (2 + i) - (4 + i)$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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12、已知函数 $f (x) = a x - e^{- x}$ ， $g (x) = x^{2} + x ln x$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明： $g (x) > - \frac{5}{16}$ ；

(3)、若 $g (x) \geq f (x)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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13、如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $P A B E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A ⊥ A B$ ， $E B / / P A$ ， $A B = P A = 4$ ， $E B = 2$ ．

(1)、求证： $B D / /$ 平面 $P E C$ ；

(2)、求二面角 $D - P C - E$ 的大小．

(3)、点 $Q$ 在直线BD上，直线 $P Q$ 与直线CE的夹角为 $α$ ，二面角 $D - P C - E$ 为 $β$ ，是否存在点 $Q$ ，使得 $α + β = π$ ．如果存在，请求出 $|B Q|$ ；如果不存在，请说明理由．

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14、深圳一高中为了解学生周末使用手机的情况，统计了全校所有学生在一年内周末使用手机的时长，现随机抽取了 $60$ 名同学在某个周末使用手机的时长，结果如下表：
周末使用手机时长（h）
0
1
2
3
4
5
6
$\geq 7$
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60

(1)、若将周末使用为 $3$ 小时及 $3$ 小时以上的，称为“经常使用”，其余的称为“不经常使用”．
请完成以下 $2 \times 2$ 列联表，并依据小概率值 $α = 0.1$ 的独立性检验，能否认为性别因素与使用的经常性有关系；
性别
使用手机
合计
不经常
经常
男生
女生
合计

(2)、对于周末使用手机 $6$ 小时及以上的同学，学校想要为进一步了解他们的手机使用情况：
（ⅰ）在样本的 $10$ 名周末使用手机 $6$ 小时及以上的同学中，随机抽取 $3$ 人进行访谈，求恰好抽中 $1$ 名男生的概率；
（ⅱ）在和小明的访谈中得知，他有 $5$ 款喜爱的手机游戏，并且在周五周六周日三天中，每天随机选择一款玩一个小时，每天的选择互相独立.记至少选中过一次游戏的数目为 $Y$ ，求 $Y$ 的分布列和数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
$0.1$
$0.05$
$0.01$
$x_{α}$
$2.706$
$3.841$
$6.635$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 4, a_{n} = a_{n - 1} + 2^{n - 1} + 3 (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

(1)、证明数列 $\{a_{n} - 2^{n}\}$ 是等差数列，并求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}} - 1$ ，求 $b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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16、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin x + 1$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [0, π]$ 时，求函数 $f (x)$ 的极值．

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17、 $\forall x_{1}, x_{2} \in [1, e]$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，不等式 $\frac{e^{x_{2}} - e^{x_{1}}}{x_{2} - x_{1}} > m$ 恒成立，则m的取值范围为．

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18、在 $(x^{2} + \frac{2}{x}) {(2 x - 1)}^{6}$ 的展开式中， $x^{2}$ 项的系数为．

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19、如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点 $P$ 为侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 内的一个动点（含边界），点 $E, F, G$ 分别是线段 $B C$ 、 $C C_{1}$ 、 $B B_{1}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A、直线 $A_{1} G //$ 平面 $A E F$ B、平面 $A E F$ 截正方体所得的截面面积为 $\frac{11}{2}$ C、 $\vec{P B_{1}} \cdot \vec{P F}$ 的最小值为 $\frac{11}{4}$ D、若 $P F ⊥ B D_{1}$ ，则点 $P$ 的运动轨迹长度为 $2 \sqrt{2}$

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20、下列说法正确的有（）

A、若随机变量 $ξ ~ N (2, σ^{2})$ ，且 $P (ξ < 4) = 0.8$ ，则 $P (0 < ξ < 4) = 0.6$ B、若随机变量 $X ～ B (6, \frac{1}{3})$ ， $Y = 2 X + 3$ ，则 $E (Y) = 7$ ， $D (Y) = \frac{8}{3}$ C、已知事件A，B，若 $A \subseteq B$ ，且 $P (A) = 0.4$ ， $P (B) = 0.7$ ，则 $P (B | \bar{A}) = 0.5$ D、有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 $E (X) = 1$

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周末使用手机时长（h）	0	1	2	3	4	5	6	$\geq 7$	合计
男生人数	1	2	4	5	6	5	4	3	30
女生人数	4	5	5	6	4	3	2	1	30
合计	5	7	9	11	10	8	6	4	60

性别	使用手机		合计
性别	不经常	经常	合计
男生
女生
合计

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$