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相关试卷

1、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $A A_{1} = \sqrt{3}$ ．
（1）证明： $A_{1} C$ $⊥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；
（2）若 $D$ 是棱 $C C_{1}$ 的中点，在棱 $A B$ 上是否存在一点 $E$ ，使DE∥平面 $A B_{1} C_{1}$ ？证明你的结论．

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2、如图：在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中 $A B = 2$ ， $M$ 为 $D D_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $M - A B C$ 的体积；

(2)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A M C$ ；

(3)、若 $N$ 为 $C C_{1}$ 的中点，求证：平面 $A M C / /$ 平面 $B N D_{1}$ .

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3、如图所示，我国黄海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 $B$ 与小岛 $A$ 、小岛 $C$ 相距都为5公里，与小岛 $D$ 相距为 $3 \sqrt{5}$ 公里．已知角 $A$ 为钝角，且 $\sin A = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求小岛 $A$ 与小岛 $D$ 之间的距离；

(2)、记 $∠ C D B$ 为 $α$ ， $∠ C B D$ 为 $β$ ，求 $\sin (2 α + β)$ 的值．

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4、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $△ P A C$ 是等腰直角三角形， $P A = 6$ ， $A B ⊥ B C$ ， $C H ⊥ P B$ ，垂足为H，D为 $P A$ 的中点，则当 $△ C D H$ 的面积最大时， $C B =$ .

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5、若 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 °$ 的两个单位向量，则 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ 与 $\vec{b} = - 3 \vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}$ 的夹角大小为.

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6、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，动点E在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）

A、 $F M // A_{1} C_{1}$ B、 $B M ⊥$ 平面 $C C_{1} F$ C、存在点E，使得平面 $B E F //$ 平面 $C C_{1} D_{1} D$ D、三棱锥 $B - C E F$ 的体积为定值

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7、下列命题中的真命题是（）

A、若直线a不在平面 $α$ 内，则a∥ $α$ B、若直线l上有无数个点不在平面 $α$ 内，则l∥ $α$ C、若l∥ $α$ ，则直线l与平面 $α$ 内任何一条直线都没有公共点 D、平行于同一平面的两直线可以相交

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8、“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆 $O$ 的半径2，点 $P$ 是圆 $O$ 内的定点，且 $O P = \sqrt{2}$ ，弦 $A C, B D$ 均过点 $P$ ，则下列说法错误的是（）

A、 $\vec{P A} \cdot \vec{P C}$ 为定值 B、当 $A C ⊥ B D$ 时， $\vec{A B} \cdot \vec{C D}$ 为定值 C、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C}$ 的取值范围是 $[- 4, 0]$ D、 $|\vec{A C}| \cdot |\vec{B D}|$ 的最大值为12

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9、已知平面向量 $\vec{a} = (\sin α, \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (\cos α, 1)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\cos 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、0 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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10、在下列各组向量中，可以作为基底的是（）

A、 $\vec{e_{1}} = (0, 0)$ ， $\vec{e_{2}} = (1, 2)$ B、 $\vec{e_{1}} = (- 1, 2)$ ， $\vec{e_{2}} = (5, - 2)$ C、 $\vec{e_{1}} = (3, 5)$ ， $\vec{e_{2}} = (6, 10)$ D、 $\vec{e_{1}} = (2, - 3)$ ， $\vec{e_{2}} = (- 2, 3)$

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11、已知 $O$ 为坐标原点，对于函数 $f (x) = a sin x + b cos x$ ，称向量 $\vec{O M} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的伴随向量，同时称函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{O M}$ 的伴随函数.

(1)、设函数 $g (x) = \sin (x + \frac{5 π}{6}) + \cos (\frac{3 π}{2} + x)$ ，试求 $g (x)$ 的伴随向量的坐标；

(2)、记向量 $\vec{O N} = (1, \sqrt{3})$ 的伴随函数为 $f (x)$ ，当 $f (x) = \frac{8}{5}$ 且 $x \in (- \frac{π}{3}, \frac{π}{6})$ 时，求 $\sin x$ 的值；

(3)、设向量 $\vec{O P} = (2 λ, - 2 λ)$ ， $λ \in R$ 的伴随函数为 $u (x)$ ， $\vec{O Q} = (1, 1)$ 的伴随函数为 $v (x)$ ，记函数 $h (x) = u (x) + v^{2} (x)$ ，求 $h (x)$ 在 $[0, π]$ 上的最大值.

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12、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0, A > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的一段图象过点 $(0, 1)$ ，如图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的表达式；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位，得函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $y = g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(3)、若 $f (α) = \frac{2}{3}, α \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (α - \frac{π}{4})$ 的值.

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13、已知 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 8$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $k$ 为何值时， $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ (k \vec{a} - \vec{b})$ ．

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14、已知 $\vec{a} = (\sin α, 1 - 4 \cos 2 α)$ ， $\vec{b} = (1, 3 \sin α - 2)$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $\frac{\sin 2 α}{2 + \cos^{2} α} =$ （）

A、 $\frac{2}{11}$ B、 $\frac{4}{11}$ C、 $\frac{6}{11}$ D、 $\frac{8}{11}$

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15、中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $O A = 1$ ，若点P是其内部任意一点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A P} + \vec{O F} \cdot \vec{A P}$ 的取值范围是（）

A、 $(- \sqrt{2}, \sqrt{2} + 1)$ B、 $(- \sqrt{2}, 2)$ C、 $(- 1, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(- 1, \sqrt{2} + 1)$

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16、某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表（单位：件）.
质是指标值
$[25, 35)$
$[35, 45)$
$[45, 55)$
$[55, 65)$
$[65, 75)$
$[75, 85)$
$[85, 95)$
产品
60
100
160
300
200
100
80

(1)、估计这组样本的质量指标值的平均数 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ （同一组中的数据用该组区间中点值作代表）；

(2)、设 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数， $\{x\}$ 表示不小于 $x$ 的最小整数， $s$ 精确到个位， $a_{1} = 5 \{\frac{\bar{x} - s}{5}\}, b_{1} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + s}{5}], a_{2} = 5 \cdot \{\frac{\bar{x} - 2 s}{5}\}, b_{2} = 5 \cdot [\frac{\bar{x} + 2 s}{5}]$ .根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有 $65 %$ 落在 $[a_{1}, b_{1}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有 $95 %$ 落在 $[a_{2}, b_{2}]$ 内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？

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17、在直角梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D = 2 A B = 2 \sqrt{2}$ ， ∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为 $θ$ （如图2），M、N分别是BD和BC中点．

(1)、若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用 $θ$ 表示），详细说明理由；

(2)、若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得 $\frac{A P}{P B} = \frac{N Q}{Q D} = λ (λ \in R)$ ，令PQ与BD和AN所成的角分别为 $θ_{1}$ 和 $θ_{2}$ ，求 $\sin θ_{1} + \sin θ_{2}$ 的取值范围．

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18、在锐角三角形 $A B C$ 中，内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sin^{2} A - 2 \sin A \cos B \sin C + \sin^{2} C = \frac{3}{4}$ ．

(1)、求角 $B$ 的值．

(2)、求 $\frac{a + c}{2 b}$ 的取值范围．

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19、勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体 $A B C D$ 的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为；用过 $A, B, C$ 三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为.

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20、某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为 $\frac{3}{4}$ 、 $\frac{2}{3}$ 、 $\frac{1}{2}$ ，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成功的概率为．（结果用最简分数表示）

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质是指标值	$[25, 35)$	$[35, 45)$	$[45, 55)$	$[55, 65)$	$[65, 75)$	$[75, 85)$	$[85, 95)$
产品	60	100	160	300	200	100	80