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相关试卷

1、样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数是 $\bar{x}$ ，方差是 $s^{2}$ ，极差为 $R$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $\bar{x} = 1$ ，则 $a + b x_{1}, a + b x_{2}, a + b x_{3}, a + b x_{4}, a + b x_{5}, a + b x_{6}$ 的平均数为 $a + b$ B、若 $s^{2} = 0$ ，则 $a + b x_{1}, a + b x_{2}, a + b x_{3}, a + b x_{4}, a + b x_{5}, a + b x_{6}$ 的方差为0 C、若 $x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, 4 x_{4}, 5 x_{5}, 6 x_{6}$ 的极差是 $R^{'}$ ，则 $R^{'} > R$ D、若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6}$ ，则这组数据的第75百分位数是 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$

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2、依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次， $A_{1}$ 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”， $A_{2}$ 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”， $A_{3}$ 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”， $A_{4}$ 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）

A、 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 为对立事件 B、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 为相互独立事件 C、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 为相互独立事件 D、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 为互斥事件

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3、已知 $f (x) = e^{x - 1} + 4 x - 4$ ，若正实数 $a$ 满足 $f (\log_{a} \frac{3}{4}) < 1$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > \frac{3}{4}$ B、 $0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > \frac{4}{3}$ C、 $0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > 1$ D、 $a > 1$

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4、底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（）

A、 $8 \sqrt{5} π$ B、 $9 \sqrt{5} π$ C、 $3 \sqrt{5} π$ D、 $16 π$

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5、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{9}$ ”是“ $a_{9} \leq 0$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6、已知复数 $z$ 满足 $z i = 2 - i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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7、若集合 $M = {x ∣ - 3 < x < 1}$ ， $N = \{x |\frac{1}{x + 2} \geq 1\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq - 1}$ C、 ${x ∣ - 3 < x < - 2}$ D、 ${x ∣ - 1 \leq x < 1}$

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8、若函数 $f (x)$ 在定义域内存在实数 $x$ 满足 $f (- x) + k f (x) = 0 (k \in Z)$ ，则称函数 $f (x)$ 为定义域的“ $k$ 阶局部奇函数”.

(1)、若函数 $f (x) = sin x - 2 tan x$ ，判断 $f (x)$ 是否为 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 上的“ $2$ 阶局部奇函数”？并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = lg (m - x)$ 是 $[- 3, 3]$ 上的“ $1$ 阶局部奇函数”，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、对于任意的实数 $t \in (- \infty, \frac{1}{2}]$ ，函数 $f (x) = x^{2} - x + t$ 恒为 $R$ 上的“ $k$ 阶局部奇函数”，求 $k$ 的取值集合.

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9、已知函数 $f (x) = \frac{m x + 1}{1 + x^{2}}$ 是 $R$ 上的偶函数.

(1)、求实数 $m$ 的值；

(2)、判断函数 $y = f (x)$ 在 $(- \infty, 0]$ 上单调性，并用定义法证明；

(3)、求不等式 $f (t) - f (1 - 2 t) > 0$ 的解集.

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式，并求 $f (\frac{π}{12})$ 的值；

(2)、将 $f (x)$ 图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，再将所得图象上各点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，得到 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[- π, π]$ 上的单调递增区间.

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11、计算下列各式的值：

(1)、 $8^{\frac{2}{3}} + {(- 9.6)}^{0} + \sqrt[5]{{(- 8)}^{5}}$ ；

(2)、 ${log}_{3} 9 \sqrt{3} + {log}_{0.4} 1 + lg 2 - lg \frac{1}{5}$

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12、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，满足 $f (x + 1) = f (- x + 1)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = b + a \log_{2} (x + 4)$ ，且 $f (\frac{15}{2}) = 1 - \frac{1}{2} {log}_{2} \frac{9}{2}$ ，则 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2025) =$ .

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13、已知 $\sin α = \frac{4}{5}$ ， $\cos (α + β) = - \frac{12}{13}$ ，且 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ， $α + β \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\cos β =$ ．

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14、下列式子化简正确的是（）

A、 $sin \frac{4 π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $cos (- \frac{π}{3}) = \frac{1}{2}$ C、 $sin (2024 π - α) = - sin α$ D、 $tan (α - 2025 π) = - tan α$

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15、已知 $sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $sin (2 θ + \frac{π}{6}) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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16、若 $x > 0$ ，则 $x + \frac{9}{x}$ 有（）

A、最小值3 B、最小值6 C、最大值6 D、最大值3

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17、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $△ A B C$ 中，AD为斜边BC上的高， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，现将 $△ A B D$ 沿AD翻折成 $△ A' B D$ ，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.

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18、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的正整数 $n$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $|a_{n + 1}| = |a_{n} + k|$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”.设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“2阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 2$ ，证明： $S_{n} \leq n^{2} + n$ ，且等号在 $a_{n} = 2 n (n \geq 1)$ 时取到.

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“16阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 8, S_{2024} = - 16192$ ，求 $a_{2024}$ 的所有可能取值.

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”，且满足 $a_{1} = \sqrt{2 k}$ .证明：对于任意的 $n > 1$ ，均有 $a_{n} > \sqrt{2 n k}$ .

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，且过点 $(2, - 3), F$ 为其右焦点．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ 经过点 $A (5, 0)$ ，倾斜角为 $45^{\circ}$ ，与 $E$ 交于 $C, D$ 两点（ $C$ 点在 $A, D$ 两点之间），若 $\vec{A C} = λ \vec{A D}, λ \in R$ ，求 $λ$ 的值．

(3)、已知点 $T (- 1, 0)$ ，过点 $F$ 作直线 $m$ 与 $E$ 交于 $M, N$ 两点，记直线 $T M, T N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，试问： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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20、已知函数 $f (x) = ln x - x + a$ ．

(1)、若 $f (x) < 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，证明：当 $x \geq 1$ 时， $f (x) + x \leq (x - 1) e^{x - a} + 1$ ．

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