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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $A C = 2 \sqrt{10}$ ， $∠ B A C$ 为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且 $P Q = 2$ ，若 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的最小值为3，则 $\cos ∠ B A C =$ ．

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2、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ ，可以选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ，现测得 $∠ B C D = 30^{\circ}$ ， $∠ B D C = 105^{\circ}$ ， $C D = 32 m$ ，在 $C$ 点测得塔顶A的仰角为 $60^{\circ}$ ，则塔的总高度为米．

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3、已知三棱锥 $P - A B C$ ， $P A ⊥ P B$ ， $P A ⊥ P C$ ， $P B ⊥ P C$ ， $P A = P B = P C = 1 cm$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的体积是 ${cm}^{3}$ ．

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4、如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，已知M，N，P分别是棱 $C_{1} D_{1}$ ， $A A_{1}$ ， BC的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{C Q} = λ \vec{C C_{1}}$ ， $λ \in [0, 1]$ ，下列说法正确的是（）

A、 $P Q //$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ B、若Q，M，N，P四点共面，则 $λ = \frac{1}{4}$ C、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，点 $F$ 在侧面 $B B_{1} C_{1} C$ 内，且 $A_{1} F / /$ 平面 $A P Q$ ，则点 $F$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{13}}{6}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则以 $B_{1}$ 为顶点，以过M、N、Q三点作该正方体的截面为底面的棱锥的表面积为 $\frac{9 + 3 \sqrt{3}}{4}$

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5、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（）

A、若 $sin A > sin B$ ，则 $A > B$ B、若 $A = 24^{\circ}$ ， $b = 5$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 C、若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} > 0$ ，则 $△ A B C$ 为锐角三角形 D、若 $\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{b^{2} + c^{2} - a^{2}}$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形或直角三角形

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6、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 2)$ ， $\vec{c} = (2 m, n - 1)$ ，则（）

A、 $|\vec{a} - \vec{b}| = 5$ B、当 $\vec{b} // \vec{c}$ 时， $4 m + n = 1$ C、当 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ⊥ \vec{c}$ 时， $m + 2 n = 2$ D、 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量的坐标为 $(\frac{2}{5}, \frac{2}{5})$

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7、如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $B B_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $A A_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，沿棱柱表面，从 $E$ 到 $F$ 的最短路径长为（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{7 + 2 \sqrt{2}}$ C、3 D、 $\sqrt{7 + \sqrt{2}}$

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8、如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $\vec{B D} = \frac{1}{2} \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ， P是线段 $A D$ 与 $B E$ 的交点，若 $\vec{A P} = m \vec{A B} + n \vec{A C}$ ，则 $m + n$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $\frac{6}{7}$ C、1 D、 $\frac{9}{7}$

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9、如图，已知直角梯形 $A B C D$ ， $A B // C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 A D = 2 C D = 2$ ，点F是CD中点，点E是线段 $B C$ 靠近B点的三等分点，则 $\vec{A F} \cdot \vec{A E} =$ （）

A、 $\frac{5}{6}$ B、 $\frac{7}{6}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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10、如图，已知水平放置的四边形 $A B C D$ 的斜二测直观图为矩形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，已知 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $B^{'} C^{'} = 1$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{2}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $a = 2$ ， $A = \frac{π}{6}$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，则 $B =$ （）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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12、若空间向量 $\vec{A B} = (1, 2, - 2)$ ， $\vec{B C} = (- 1, - 1, 5)$ ，则 $|\vec{A C}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $3$ C、 $\sqrt{10}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、若复数z在复平面中的对应点都在一个以原点为圆心的圆上，则 $\frac{1}{\bar{z}}$ 的对应点均在（）

A、一条直线上 B、一个圆上 C、一条抛物线上 D、一支双曲线上

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14、设随机变量 $X ~ B (3, p), D (X) = \frac{2}{3}$ ，且 $E (X) > 1$ ．若8名团员中有 $\frac{15 p}{2}$ 名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 $P (Y = 3) =$ ．

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15、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{B O} = 2 \vec{O C}$ ，过点 $O$ 的直线分别交直线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点 $M$ ， $N$ .设 $\vec{A B} = m \vec{A M}$ ， $\vec{A C} = n \vec{A N}$ ，其中 $m, n > 0$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{2 - 2 \sqrt{2}}{3}$ B、 $\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{2 + 2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{3}$

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16、已知一组数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 的平均数是3，方差为4，则数据 $2 x_{1} + 1$ ， $2 x_{2} + 1$ ， $2 x_{3} + 1$ ， $2 x_{4} + 1$ 的平均数和方差分别是（）

A、7，8 B、7，16 C、6，8 D、6，16

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17、如图所示， $A D$ 是 $△ A B C$ 的一条中线，点 $O$ 满足 $\vec{A O} = 2 \vec{O D}$ ，过点 $O$ 的直线分别与射线 $A B$ ，射线 $A C$ 交于 $M, N$ 两点．

(1)、用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 表示 $\vec{A O}$ ；

(2)、设 $\vec{A M} = m \vec{A B}, \vec{A N} = n \vec{A C}$ ，实数 $m > 0, n > 0$ ，求 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值；

(3)、如果 $△ A B C$ 是边长为 $a (a > 0)$ 的等边三角形，求 $O M^{2} + O N^{2}$ 的取值范围．

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18、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $|\vec{b}| = \sqrt{5}$ ，

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $120 °$ ，求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，求 $\vec{b}$ 的坐标；

(3)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角为 $60 °$ ，求 $|\vec{a} + t \vec{b}|$ 取最小值时 $t$ 的值．

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19、 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin (B - C) + \sin (B + C) = \sin B$ ．

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．求 $△ A B C$ 的周长．

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20、已知 $z = 1 + 2 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，其中 $p, q$ 为实数．

(1)、求 $p, q$ 的值；

(2)、设复数 $z_{1} = m - 3 i$ 满足 $z_{1} \cdot z$ 是纯虚数，求实数 $m$ 的值．

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