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相关试卷

1、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (x, 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ 的值为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $- \frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $- \frac{3}{2}$

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2、为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：

不少于5本
少于5本
合计
活动前
35
65
100
活动后
60
40
100
合计
95
105
200

(1)、依据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用；

(2)、已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数 $X$ 的分布列及数学期望．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
临界值表：
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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3、已知 $m \in R$ ，函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 6 m - 8, x \geq 1 \\ - x^{2} + m x + m^{2}, x < 1 \end{cases}$
（1）若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围为；
（2）若对于任意实数 $a$ ，方程 $f (x) = a$ 有且只有一个实数根，且 $f (2) < 8$ ，函数 $y = |f (x)|$ 的图象与函数 $y = m x + t$ 的图象有三个不同的交点，则 $t$ 的取值范围为.

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4、已知抛物线方程为 $4 y = x^{2}$ ，则抛物线的准线方程为．

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5、已知函数 $f (x)$ 是 $R$ 上的奇函数，对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + 4) = f (x)$ 成立，当 $x \in [0, 2)$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，给出下列结论，其中正确的是（）

A、 $f (2) = 0$ B、点 $(4, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一个对称中心 C、函数 $f (x)$ 在 $[- 6, - 2]$ 上单调递增 D、函数 $f (x)$ 在 $[- 6, 6]$ 上有 $3$ 个零点

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6、已知函数 $f (x) = e^{x} - m - ln (x + m)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \geq - 1$ B、 $m \leq 1$ C、 $- 1 \leq m \leq 1$ D、 $- 1 \leq m \leq 2$

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7、已知 $\cos (β - α) = \frac{3}{5}$ ， $\tan α \tan β = \frac{1}{2}$ ，则 $\cos (2 α + 2 β) =$ （）

A、 $- \frac{2}{25}$ B、 $\frac{23}{25}$ C、 $\frac{2}{25}$ D、 $- \frac{23}{25}$

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8、某公司的两名同事计划今年国庆节期间从大理、丽江、洱海、玉龙雪山、蓝月谷这 $5$ 个著名旅游景点中随机选择一个游玩.若在两人中至少有一人选择大理的条件下，求两人选择的景点不同的概率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{8}{9}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、 $\frac{6}{7}$

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9、已知圆 $C : {(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ，若圆 $C$ 刚好被直线 $l : a x + b y = 1 (a > 0, b > 0)$ 平分，则 $\frac{2}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为（）

A、 $18$ B、 $16$ C、 $10$ D、 $8 + 4 \sqrt{2}$

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10、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别 $F_{1}, F_{2}, M$ 为椭圆 $C$ 上任意一点， $|F_{1} F_{2}| = 2, |M F_{1}| + |M F_{2}| = 4$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $N$ 为圆 $C_{1} : {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 5$ 上任意一点，求 $|M N| + |M F_{2}|$ 的最小值；

(3)、已知直线 $l : y = k x + 1, (k \neq 0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，且与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点， $E$ 为坐标平面内不在直线 $l$ 上的动点，若直线 $A E, D E, B E$ 斜率的倒数成等差数列，证明：动点 $E$ 在定直线 $L$ 上，并求直线 $L$ 的方程.

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11、已知函数 $f (x) = a x e^{x} + 1$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求 $f (x)$ 在区间 $[- 2, 0]$ 上的最大值和最小值；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x) \geq ln x + x + 2$ ；

(3)、若 $\forall x \in [\frac{1}{e}, + \infty), f (x) \leq x^{2} ln x - x^{3} + x^{2} + 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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12、2025年春节联欢晚会中的创意融合舞蹈《秧BOT》轰动全球，标志着中国的服务机器人技术达到世界一流水平.某人工智能企业的服务机器人研发部，自2018年至2024年投入巨资进行服务机器人技术研究开发，取得了巨大的成就.该企业试产了三类不同型号的服务机器人 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ ，对其进行两次智能模仿成年人活动检测.

(1)、若 $H_{1}$ 型服务机器人第一次仿成年人拿水杯检测成功，则第二次检测成功的概率为 $\frac{9}{10}$ ；若第一次检测不成功，则第二次检测成功的概率为 $\frac{3}{4}$ .已知 $H_{1}$ 型服务机器人第一次检测成功的概率为 $\frac{4}{5}$ ，求 $H_{1}$ 型服务机器人第二次检测成功的概率；

(2)、试产 $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型服务机器人进行两次仿成年人综合试验检测，已知第一次检测时， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型合格的概率分别为 $\frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{3}{5}$ ，第二次检测时， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型合格的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{2}{3}$ .两次检测相互独立，设经过两次检测后， $H_{1}, H_{2}, H_{3}$ 型服务机器人合格的种类数为随机变量 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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13、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{2} = 4, a_{1} + a_{3} + a_{5} = 18$ ，等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} + b_{4} = 9, b_{2} + b_{5} = 18$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n} = a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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14、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $M$ 是 $B C$ 的中点， $A_{1} B = A_{1} C$ .

(1)、证明： $B C ⊥$ 平面 $A M A_{1}$ ；

(2)、若 $A B ⊥ A C, A B = \sqrt{2}, A A_{1} = 2$ ，求二面角 $B - A_{1} C_{1} - C$ 的余弦值.

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15、已知函数 $f (x) = (x + a) ln x (a > 0)$ .若当 $x > e$ 时，存在过坐标原点 $O$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = f (x)$ 相切，则实数 $a$ 的取值范围为.

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16、设 $M$ 是抛物线 $y^{2} = 6 x$ 上一点， $F$ 是抛物线的焦点， $O$ 为坐标原点， $∠ O F M = 120^{\circ}$ ，则 $|F M| =$ .

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17、已知 ${(3 - 2 x)}^{n}$ 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则 $n$ 的值为.

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18、已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - 3 a x^{2} + 1$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取得极小值，则 $a = 1$ B、若 $a < 0, x_{1} > x_{2} > 1$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ C、若 $a = 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 关于点 $(1, - 3)$ 中心对称 D、若 $a > 1$ ，则 $f (x)$ 有3个零点

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} sin (2 x - \frac{π}{4})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 恰有两个零点，则 $m$ 的取值范围为 $(\frac{5 π}{8}, \frac{9 π}{8}]$ C、若 $f (x) \geq - 1$ ，且 $0 \leq x \leq 2 π$ ，则 $0 \leq x \leq \frac{3 π}{4}$ D、若 $f (x)$ 在区间 $(0, m)$ 恰有两个最值点，则 $m$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{8}, \frac{11 π}{8}]$

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20、早在1733年，法国数学家棣莫弗在研究二项概率的近似计算时，提出了正态密度函数的形式，其解析式为 $f (x) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}, x \in R$ ，其中 $μ \in R, σ > 0$ 为参数.若随机变量 $X$ 的概率分布密度函数为 $f (x)$ ，则称随机变量 $X$ 服从正态分布，则下列说法正确的是（）
（参考数据：若随机变量 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.6827, P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545, P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.9973)$

A、曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = μ$ 对称 B、曲线 $y = f (x)$ 在 $x = μ$ 处达到峰值 $\frac{1}{\sqrt{2 π}}$ C、当 $σ$ 较小时，正态曲线“矮胖”，当 $σ$ 较大时，正态曲线“瘦高” D、若 $σ^{2} = 4, μ = 60$ ，则 $P (62 \leq X \leq 64) \approx 0.1359$

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	不少于5本	少于5本	合计
活动前	35	65	100
活动后	60	40	100
合计	95	105	200

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828