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相关试卷

1、如果物体的运动函数为 $s = \frac{1}{t} + 2 t, t > 1 ，$ 其中 $s$ 的单位是米， $t$ 的单位是秒，那么物体在2秒末的瞬时速度是（）

A、 $\frac{7}{4}$ 米/秒 B、 $\frac{9}{4}$ 米/秒 C、 $\frac{3}{2}$ 米/秒 D、 $\frac{5}{2}$ 米/秒

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2、如图，在棱长为1正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P，Q分别是线段 $B_{1} D_{1}$ ， $B D_{1}$ 上的动点，点E是棱 $B B_{1}$ 的中点，下列命题正确的有（）

A、异面直线 $A C$ 与 $B P$ 所成的角为定值 B、 $P Q + Q A$ 的最小值为 $\frac{4}{3}$ C、三棱锥 $A - P B C$ 的体积随P点的变化而变化 D、过点E作平面 $α$ ，当 $α$ //平面 $A B_{1} D_{1}$ 时，平面 $α$ 与正方体表面的交线构成平面多边形的周长为 $3 \sqrt{2}$

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3、如图，为了测量河对岸的塔高 $A B$ ，某测量队选取与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个测量基点 $C$ 与 $D$ ．现测量得 $∠ C D B = 120^{°}, C D = 30$ 米，在点 $C, D$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角分别为 $30^{°}, 45^{°}$ ，则塔高 $A B =$ （）

A、 $30$ 米 B、 $30 \sqrt{2}$ 米 C、 $30 \sqrt{3}$ 米 D、 $15 \sqrt{2}$ 米

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4、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 1 ， \vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - λ \vec{b})$ ，则实数 $λ$ 的值为（　　）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $\frac{9}{2}$

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5、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 是方程 $x^{2} - x + 2 = 0$ 的两根，则（）

A、 ${\bar{z}}_{1} = z_{2}$ B、 $z_{1} z_{2} = 1$ C、 $z_{1} z_{2} = {|z_{1}|}^{2}$ D、 $\frac{z_{1} + z_{2}}{1 - i}$ 在复平面内所对应的点位于第四象限

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6、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x \cos 2 x + \cos^{2} 2 x$ ，则下列结论不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{5 π}{24}, \frac{1}{2})$ 对称 C、若 $f (x + t)$ 是偶函数，则 $t = \frac{π}{12} + \frac{k π}{4}$ ， $k \in Z$ D、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[0, 1]$

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7、英国数学家泰勒发现了如下公式： $e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots + \frac{x^{n}}{n!} + \dots$ ，其中 $n! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times \dots \times n$ ， $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ．以上公式称为泰勒公式．设 $f (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ， $g (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：

(1)、证明： $e^{x} \geq 1 + x$ ；

(2)、设 $x \in (0, + \infty)$ ，证明： $\frac{f (x)}{x} < g (x)$ ；

(3)、设实数 $k$ 使得 $f (x) > k (x + \frac{x^{3}}{6})$ 对 $x \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值．

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8、红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)、根据散点图判断， $y = b x + a$ 与 $y = c e^{d x}$ （其中e为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度 $x$ （℃）的回归方程类型?（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出 $y$ 关于 $x$ 的回归方程；
附：回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ .
参考数据 $(z = \ln y)$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$
$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$
$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$
$\bar{x}$
$\bar{y}$
$\bar{z}$
5215
2347.3
33.6
27
81.3
3.6

(2)、现在有10根棉花纤维，其中有6根为长纤维，4根为短纤维，从中随机抽取3根棉花纤维，设抽到的长纤维棉花的根数为X，求X的分布列.

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9、已知函数 $f (x) = \ln x - x$ .

(1)、求函数 $g (x) = f (x) + 2 x - 4 \ln x - \frac{2}{x}$ 的单调区间和极值；

(2)、若不等式 $f (x) \leq (a - 1) x + 1$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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10、（1）已知 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中共有7项.求展开式中的常数项；
（2）已知 $m \in N^{*}$ ， $n \in N^{*}$ ， $f (x) = {(1 + x)}^{m} + {(1 + x)}^{n}$ 的展开式中含 $x$ 项的系数为 $5$ ，含 $x^{2}$ 项的系数为 $4$ ，求 $f (0.003)$ 的近似值.（精确到0.01）

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11、2023年秋季，支原体肺炎在我国各地流行，该疾病的主要感染群体为青少年和老年人．某市医院传染病科从该市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽查了200人，并调查其患病情况，将调查结果整理如下：
有慢性疾病
没有慢性疾病
合计
未感染支原体肺炎
40
80
感染支原体肺炎
40
合计
120
200

(1)、完成 $2 \times 2$ 列联表，并根据小概率值 $α = 0.05$ 的独立性检验，分析70岁以上老年人感染支原体肺炎与自身慢性疾病是否有关？

(2)、用样本估计总体，并用本次抽查中样本的频率代替概率，从本市各医院某段时间就医且年龄在70岁以上的老年人中随机抽取3人，设抽取的3人中感染支原体肺炎的人数为X，求X的分布列，数学期望 $E (X)$ 和方差 $D (X)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$α$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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12、已知函数 $f (x) = x^{3} - {log}_{a} x$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），则（）

A、当 $a = e$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为 $2 x - y - 1 = 0$ B、函数 $f (x)$ 恒有1个极值点 C、若曲线 $y = f (x)$ 有两条过原点的切线，则 $e^{- \frac{1}{6 e^{4}}} < a < 1$ D、若 $f (x)$ 有两个零点，则 $1 < a < e^{\frac{1}{3 e}}$

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13、已知 ${(1 - 2 x)}^{7} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5} + a_{6} x^{6} + a_{7} x^{7}$ ，则下列命题正确的是（）

A、 $a_{7} = 128$ ； B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + a_{7} = - 2$ ； C、 $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + 4 a_{4} + 5 a_{5} + 6 a_{6} + 7 a_{7} = - 14$ ； D、 $a_{0} + 2 a_{1} + 3 a_{2} + 4 a_{3} + 5 a_{4} + 6 a_{5} + 7 a_{6} + 8 a_{7} = - 15$ ．

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14、有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列说法中正确的有（）

A、任取一个零件，它是次品的概率是0.0525 B、任取一个零件，它是次品的概率是0.16 C、如果取到的零件是次品，则它是第1台车床加工的概率为 $\frac{2}{7}$ D、如果要求加工次品的操作员承担相应的责任，那么第1台车床的操作员应承担的份额小于第2台车床的操作员应承担的份额

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15、若对任意的 $x_{1}, x_{2} \in (m, + \infty)$ 且 $x_{1} < x_{2} ， \frac{x_{1} \ln x_{2} - x_{2} \ln x_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 2$ ，则实数m的取值范围是（）

A、 $(0, 1)$ B、 $[\frac{1}{e}, e]$ C、 $[\frac{1}{e}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{e}, + \infty)$

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16、已知随机变量 $X$ 的分布列如下：
$X$
2
3
6
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$a$
则 $D (3 X + 2)$ 的值为（）

A、20 B、18 C、8 D、6

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17、2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）

A、30种 B、60种 C、120种 D、240种

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18、对于数据组 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, n)$ ，如果由线性回归方程得到的自变量 $x_{i}$ 的估计值是 ${\hat{y}}_{i}$ ，那么将 $y_{i} - \hat{y}$ 称为样本点 $(x_{i}, y_{i})$ 处的残差.某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到表所示数据.若销量 $y$ （单位：件）与单价 $x$ （单位：元）之间的线性回归方程为 $\hat{y} = - 20 x + a$ ，且样本点 $(8.4, 83)$ 处的残差为3，则 $m =$ （）
单价 $x$ /元
8.2
8.4
8.6
8.8
销量 $y /$ 件
84
83
78
m

A、65 B、67 C、73 D、75

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19、某项目工作需要2名服务人员，某集团迅速从人事部选取5人，市场部选取10人组成服务队，为了进一步开展工作，现选取2人作为队长，则2位队长都来自同一部门的前提下，2位队长全部来自市场部的概率为（）．

A、 $\frac{11}{21}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{9}{11}$ D、 $\frac{2}{21}$

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20、下列求导数运算中正确的是（）

A、 ${(5^{x})}^{'} = 5^{x}$ B、 ${(\frac{\cos x}{x})}^{'} = - \sin x$ C、 ${(e^{3 x})}^{'} = e^{3 x}$ D、 ${(x^{3} \ln x)}^{'} = 3 x^{2} \ln x + x^{2}$

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参考数据 $(z = \ln y)$
$\sum_{i = 1}^{7} x_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})$	$\sum_{i = 1}^{7} (x_{i} - \bar{x}) (z_{i} - \bar{z})$	$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{z}$
5215	2347.3	33.6	27	81.3	3.6

	有慢性疾病	没有慢性疾病	合计
未感染支原体肺炎	40		80
感染支原体肺炎		40
合计	120		200

$α$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

$X$	2	3	6
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$	$a$

单价 $x$ /元	8.2	8.4	8.6	8.8
销量 $y /$ 件	84	83	78	m